Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2600 / 1368
↖ ↑ ↗
← N 81.646927°
W122.871094°		 ← 354.93 m → N 81.646927°
W122.849121°		 →
↑
355.06 m
↓
↑
355.06 m
↓
N 81.643734°
W122.871094°		 ← 355.07 m →
126 045 m²		 N 81.643734°
W122.849121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158721923828125 y=0.083526611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158721923828125 × 214)
    floor (0.158721923828125 × 16384)
    floor (2600.5)     		tx = 2600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.083526611328125 × 214)
    floor (0.083526611328125 × 16384)
    floor (1368.5)     		ty = 1368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2600 / 1368 ti = "14/2600/1368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2600/1368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2600 ÷ 214
    2600 ÷ 16384     		x = 0.15869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1368 ÷ 214
    1368 ÷ 16384     		y = 0.08349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    -0.6826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14450514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08349609375 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14450514} λ = -2.14450514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61697122405811))-π/2
    2×atan(13.6941840945988)-π/2
    2×1.49790201110527-π/2
    2.99580402221054-1.57079632675     		φ = 1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14450514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.871094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2600 KachelY 1368 -2.14450514 1.42500770 -122.871094 81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 2601 KachelY 1368 -2.14412165 1.42500770 -122.849121 81.646927
    Unten links KachelX 2600 KachelY + 1 1369 -2.14450514 1.42495197 -122.871094 81.643734
    Unten rechts KachelX + 1 2601 KachelY + 1 1369 -2.14412165 1.42495197 -122.849121 81.643734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42500770-1.42495197) × R
    5.57300000001426e-05 × 6371000     		dl = 355.055830000909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42500770-1.42495197) × R
    5.57300000001426e-05 × 6371000     		dr = 355.055830000909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14450514--2.14412165) × cos(1.42500770) × R
    0.000383489999999931 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 354.932496124585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14450514--2.14412165) × cos(1.42495197) × R
    0.000383489999999931 × 0.145327874139366 × 6371000     		du = 355.067211496494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42500770)-sin(1.42495197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145327874139366)×R²
    abs(-2.14412165--2.14450514)×5.51385708948138e-05×R²
    0.000383489999999931×5.51385708948138e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.51385708948138e-05×40589641000000     		ar = 126044.767777577m²