Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25989 / 25209
↖ ↑ ↗
← S 69.135185°
E105.523681°		 ← 435.10 m → S 69.135185°
E105.534668°		 →
↑
435.08 m
↓
↑
435.08 m
↓
S 69.139097°
E105.523681°		 ← 435.03 m →
189 286 m²		 S 69.139097°
E105.534668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793136596679688 y=0.769332885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793136596679688 × 215)
    floor (0.793136596679688 × 32768)
    floor (25989.5)     		tx = 25989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769332885742188 × 215)
    floor (0.769332885742188 × 32768)
    floor (25209.5)     		ty = 25209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25989 / 25209 ti = "15/25989/25209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25989/25209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25989 ÷ 215
    25989 ÷ 32768     		x = 0.793121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25209 ÷ 215
    25209 ÷ 32768     		y = 0.769317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793121337890625 × 2 - 1) × π
    0.58624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84173568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.53863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69217255658798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84173568} λ = 1.84173568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69217255658798))-π/2
    2×atan(0.184119080036613)-π/2
    2×0.18207986400376-π/2
    0.364159728007521-1.57079632675     		φ = -1.20663660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84173568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.523681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20663660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.135185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25989 KachelY 25209 1.84173568 -1.20663660 105.523681 -69.135185
    Oben rechts KachelX + 1 25990 KachelY 25209 1.84192743 -1.20663660 105.534668 -69.135185
    Unten links KachelX 25989 KachelY + 1 25210 1.84173568 -1.20670489 105.523681 -69.139097
    Unten rechts KachelX + 1 25990 KachelY + 1 25210 1.84192743 -1.20670489 105.534668 -69.139097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20663660--1.20670489) × R
    6.82899999999709e-05 × 6371000     		dl = 435.075589999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20663660--1.20670489) × R
    6.82899999999709e-05 × 6371000     		dr = 435.075589999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84173568-1.84192743) × cos(-1.20663660) × R
    0.000191749999999935 × 0.356164249388887 × 6371000     		do = 435.104226500105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84173568-1.84192743) × cos(-1.20670489) × R
    0.000191749999999935 × 0.356100436786763 × 6371000     		du = 435.026270520706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20663660)-sin(-1.20670489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356164249388887-0.356100436786763)×R²
    abs(1.84192743-1.84173568)×6.38126021241803e-05×R²
    0.000191749999999935×6.38126021241803e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.38126021241803e-05×40589641000000     		ar = 189286.269757773m²