Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25989 / 25208
↖ ↑ ↗
← S 69.131271°
E105.523681°		 ← 435.18 m → S 69.131271°
E105.534668°		 →
↑
435.14 m
↓
↑
435.14 m
↓
S 69.135185°
E105.523681°		 ← 435.10 m →
189 348 m²		 S 69.135185°
E105.534668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793136596679688 y=0.769302368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793136596679688 × 215)
    floor (0.793136596679688 × 32768)
    floor (25989.5)     		tx = 25989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769302368164062 × 215)
    floor (0.769302368164062 × 32768)
    floor (25208.5)     		ty = 25208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25989 / 25208 ti = "15/25989/25208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25989/25208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25989 ÷ 215
    25989 ÷ 32768     		x = 0.793121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25208 ÷ 215
    25208 ÷ 32768     		y = 0.769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793121337890625 × 2 - 1) × π
    0.58624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84173568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.53857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6919808089895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84173568} λ = 1.84173568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6919808089895))-π/2
    2×atan(0.184154387813027)-π/2
    2×0.182114013882869-π/2
    0.364228027765738-1.57079632675     		φ = -1.20656830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84173568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.523681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20656830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.131271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25989 KachelY 25208 1.84173568 -1.20656830 105.523681 -69.131271
    Oben rechts KachelX + 1 25990 KachelY 25208 1.84192743 -1.20656830 105.534668 -69.131271
    Unten links KachelX 25989 KachelY + 1 25209 1.84173568 -1.20663660 105.523681 -69.135185
    Unten rechts KachelX + 1 25990 KachelY + 1 25209 1.84192743 -1.20663660 105.534668 -69.135185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20656830--1.20663660) × R
    6.82999999999101e-05 × 6371000     		dl = 435.139299999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20656830--1.20663660) × R
    6.82999999999101e-05 × 6371000     		dr = 435.139299999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84173568-1.84192743) × cos(-1.20656830) × R
    0.000191749999999935 × 0.356228069674021 × 6371000     		do = 435.182191865371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84173568-1.84192743) × cos(-1.20663660) × R
    0.000191749999999935 × 0.356164249388887 × 6371000     		du = 435.104226500105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20656830)-sin(-1.20663660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356228069674021-0.356164249388887)×R²
    abs(1.84192743-1.84173568)×6.38202851339642e-05×R²
    0.000191749999999935×6.38202851339642e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.38202851339642e-05×40589641000000     		ar = 189347.911517335m²