Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25987 / 24535
↖ ↑ ↗
← S 66.333096°
E105.501709°		 ← 490.39 m → S 66.333096°
E105.512696°		 →
↑
490.31 m
↓
↑
490.31 m
↓
S 66.337505°
E105.501709°		 ← 490.30 m →
240 423 m²		 S 66.337505°
E105.512696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793075561523438 y=0.748764038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793075561523438 × 215)
    floor (0.793075561523438 × 32768)
    floor (25987.5)     		tx = 25987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748764038085938 × 215)
    floor (0.748764038085938 × 32768)
    floor (24535.5)     		ty = 24535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25987 / 24535 ti = "15/25987/24535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25987/24535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25987 ÷ 215
    25987 ÷ 32768     		x = 0.793060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24535 ÷ 215
    24535 ÷ 32768     		y = 0.748748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793060302734375 × 2 - 1) × π
    0.58612060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84135219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.49749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56293467521231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84135219} λ = 1.84135219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56293467521231))-π/2
    2×atan(0.20952029407627)-π/2
    2×0.206532705494549-π/2
    0.413065410989097-1.57079632675     		φ = -1.15773092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84135219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.501709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15773092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.333096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25987 KachelY 24535 1.84135219 -1.15773092 105.501709 -66.333096
    Oben rechts KachelX + 1 25988 KachelY 24535 1.84154394 -1.15773092 105.512696 -66.333096
    Unten links KachelX 25987 KachelY + 1 24536 1.84135219 -1.15780788 105.501709 -66.337505
    Unten rechts KachelX + 1 25988 KachelY + 1 24536 1.84154394 -1.15780788 105.512696 -66.337505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15773092--1.15780788) × R
    7.69599999999038e-05 × 6371000     		dl = 490.312159999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15773092--1.15780788) × R
    7.69599999999038e-05 × 6371000     		dr = 490.312159999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84135219-1.84154394) × cos(-1.15773092) × R
    0.000191749999999935 × 0.401418799175099 × 6371000     		do = 490.388960760003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84135219-1.84154394) × cos(-1.15780788) × R
    0.000191749999999935 × 0.40134831073675 × 6371000     		du = 490.302849317044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15773092)-sin(-1.15780788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401418799175099-0.40134831073675)×R²
    abs(1.84154394-1.84135219)×7.04884383498361e-05×R²
    0.000191749999999935×7.04884383498361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.04884383498361e-05×40589641000000     		ar = 240422.559964397m²