Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25985 / 25211
↖ ↑ ↗
← S 69.143009°
E105.479736°		 ← 434.95 m → S 69.143009°
E105.490723°		 →
↑
434.88 m
↓
↑
434.88 m
↓
S 69.146920°
E105.479736°		 ← 434.87 m →
189 135 m²		 S 69.146920°
E105.490723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793014526367188 y=0.769393920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793014526367188 × 215)
    floor (0.793014526367188 × 32768)
    floor (25985.5)     		tx = 25985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769393920898438 × 215)
    floor (0.769393920898438 × 32768)
    floor (25211.5)     		ty = 25211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25985 / 25211 ti = "15/25985/25211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25985/25211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25985 ÷ 215
    25985 ÷ 32768     		x = 0.792999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25211 ÷ 215
    25211 ÷ 32768     		y = 0.769378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792999267578125 × 2 - 1) × π
    0.58599853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84096869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.53875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69255605178494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84096869} λ = 1.84096869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69255605178494))-π/2
    2×atan(0.184048484791084)-π/2
    2×0.182011582599215-π/2
    0.36402316519843-1.57079632675     		φ = -1.20677316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84096869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.479736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20677316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.143009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25985 KachelY 25211 1.84096869 -1.20677316 105.479736 -69.143009
    Oben rechts KachelX + 1 25986 KachelY 25211 1.84116044 -1.20677316 105.490723 -69.143009
    Unten links KachelX 25985 KachelY + 1 25212 1.84096869 -1.20684142 105.479736 -69.146920
    Unten rechts KachelX + 1 25986 KachelY + 1 25212 1.84116044 -1.20684142 105.490723 -69.146920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20677316--1.20684142) × R
    6.82599999999312e-05 × 6371000     		dl = 434.884459999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20677316--1.20684142) × R
    6.82599999999312e-05 × 6371000     		dr = 434.884459999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84096869-1.84116044) × cos(-1.20677316) × R
    0.000191749999999935 × 0.356036641213395 × 6371000     		do = 434.948335344304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84096869-1.84116044) × cos(-1.20684142) × R
    0.000191749999999935 × 0.355972853325578 × 6371000     		du = 434.870409556872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20677316)-sin(-1.20684142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356036641213395-0.355972853325578)×R²
    abs(1.84116044-1.84096869)×6.37878878171905e-05×R²
    0.000191749999999935×6.37878878171905e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.37878878171905e-05×40589641000000     		ar = 189135.327660359m²