Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2598 / 1565
↖ ↑ ↗
← N 80.994013°
W122.915039°		 ← 382.46 m → N 80.994013°
W122.893067°		 →
↑
382.51 m
↓
↑
382.51 m
↓
N 80.990573°
W122.915039°		 ← 382.60 m →
146 322 m²		 N 80.990573°
W122.893067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158599853515625 y=0.095550537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158599853515625 × 214)
    floor (0.158599853515625 × 16384)
    floor (2598.5)     		tx = 2598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095550537109375 × 214)
    floor (0.095550537109375 × 16384)
    floor (1565.5)     		ty = 1565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2598 / 1565 ti = "14/2598/1565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2598/1565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2598 ÷ 214
    2598 ÷ 16384     		x = 0.1585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1565 ÷ 214
    1565 ÷ 16384     		y = 0.09552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14527213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09552001953125 × 2 - 1) × π
    0.8089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5414226702569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14527213} λ = -2.14527213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5414226702569))-π/2
    2×atan(12.6977227994464)-π/2
    2×1.49220426243406-π/2
    2.98440852486812-1.57079632675     		φ = 1.41361220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14527213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41361220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.994013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2598 KachelY 1565 -2.14527213 1.41361220 -122.915039 80.994013
    Oben rechts KachelX + 1 2599 KachelY 1565 -2.14488864 1.41361220 -122.893067 80.994013
    Unten links KachelX 2598 KachelY + 1 1566 -2.14527213 1.41355216 -122.915039 80.990573
    Unten rechts KachelX + 1 2599 KachelY + 1 1566 -2.14488864 1.41355216 -122.893067 80.990573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41361220-1.41355216) × R
    6.00399999999279e-05 × 6371000     		dl = 382.514839999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41361220-1.41355216) × R
    6.00399999999279e-05 × 6371000     		dr = 382.514839999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14527213--2.14488864) × cos(1.41361220) × R
    0.000383489999999931 × 0.156537671805436 × 6371000     		do = 382.455154947138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14527213--2.14488864) × cos(1.41355216) × R
    0.000383489999999931 × 0.156596971349459 × 6371000     		du = 382.600036470136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41361220)-sin(1.41355216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156537671805436-0.156596971349459)×R²
    abs(-2.14488864--2.14527213)×5.92995440235333e-05×R²
    0.000383489999999931×5.92995440235333e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.92995440235333e-05×40589641000000     		ar = 146322.482112591m²