Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25974 / 25224
↖ ↑ ↗
← S 69.193800°
E105.358887°		 ← 433.94 m → S 69.193800°
E105.369873°		 →
↑
433.87 m
↓
↑
433.87 m
↓
S 69.197702°
E105.358887°		 ← 433.86 m →
188 253 m²		 S 69.197702°
E105.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792678833007812 y=0.769790649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792678833007812 × 215)
    floor (0.792678833007812 × 32768)
    floor (25974.5)     		tx = 25974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769790649414062 × 215)
    floor (0.769790649414062 × 32768)
    floor (25224.5)     		ty = 25224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25974 / 25224 ti = "15/25974/25224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25974/25224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25974 ÷ 215
    25974 ÷ 32768     		x = 0.79266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25224 ÷ 215
    25224 ÷ 32768     		y = 0.769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79266357421875 × 2 - 1) × π
    0.5853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83885947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83885947} λ = 1.83885947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69504877056519))-π/2
    2×atan(0.183590275007899)-π/2
    2×0.181568349476913-π/2
    0.363136698953826-1.57079632675     		φ = -1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83885947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25974 KachelY 25224 1.83885947 -1.20765963 105.358887 -69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 25975 KachelY 25224 1.83905122 -1.20765963 105.369873 -69.193800
    Unten links KachelX 25974 KachelY + 1 25225 1.83885947 -1.20772773 105.358887 -69.197702
    Unten rechts KachelX + 1 25975 KachelY + 1 25225 1.83905122 -1.20772773 105.369873 -69.197702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20765963--1.20772773) × R
    6.81000000000154e-05 × 6371000     		dl = 433.865100000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20765963--1.20772773) × R
    6.81000000000154e-05 × 6371000     		dr = 433.865100000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83885947-1.83905122) × cos(-1.20765963) × R
    0.000191749999999935 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 433.936181359675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83885947-1.83905122) × cos(-1.20772773) × R
    0.000191749999999935 × 0.355144460205279 × 6371000     		du = 433.858412006685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20765963)-sin(-1.20772773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.355144460205279)×R²
    abs(1.83905122-1.83885947)×6.36598349224027e-05×R²
    0.000191749999999935×6.36598349224027e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.36598349224027e-05×40589641000000     		ar = 188252.894087896m²