Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25974 / 24810
↖ ↑ ↗
← S 67.516972°
E105.358887°		 ← 467.17 m → S 67.516972°
E105.369873°		 →
↑
467.12 m
↓
↑
467.12 m
↓
S 67.521173°
E105.358887°		 ← 467.08 m →
218 204 m²		 S 67.521173°
E105.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792678833007812 y=0.757156372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792678833007812 × 215)
    floor (0.792678833007812 × 32768)
    floor (25974.5)     		tx = 25974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757156372070312 × 215)
    floor (0.757156372070312 × 32768)
    floor (24810.5)     		ty = 24810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25974 / 24810 ti = "15/25974/24810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25974/24810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25974 ÷ 215
    25974 ÷ 32768     		x = 0.79266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24810 ÷ 215
    24810 ÷ 32768     		y = 0.75714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79266357421875 × 2 - 1) × π
    0.5853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83885947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.5142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61566526479437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83885947} λ = 1.83885947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61566526479437))-π/2
    2×atan(0.198758399482331)-π/2
    2×0.196201428643822-π/2
    0.392402857287644-1.57079632675     		φ = -1.17839347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83885947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17839347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.516972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25974 KachelY 24810 1.83885947 -1.17839347 105.358887 -67.516972
    Oben rechts KachelX + 1 25975 KachelY 24810 1.83905122 -1.17839347 105.369873 -67.516972
    Unten links KachelX 25974 KachelY + 1 24811 1.83885947 -1.17846679 105.358887 -67.521173
    Unten rechts KachelX + 1 25975 KachelY + 1 24811 1.83905122 -1.17846679 105.369873 -67.521173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17839347--1.17846679) × R
    7.33200000000434e-05 × 6371000     		dl = 467.121720000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17839347--1.17846679) × R
    7.33200000000434e-05 × 6371000     		dr = 467.121720000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83885947-1.83905122) × cos(-1.17839347) × R
    0.000191749999999935 × 0.382409739453345 × 6371000     		do = 467.166747298321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83885947-1.83905122) × cos(-1.17846679) × R
    0.000191749999999935 × 0.382341991269588 × 6371000     		du = 467.083983457928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17839347)-sin(-1.17846679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382409739453345-0.382341991269588)×R²
    abs(1.83905122-1.83885947)×6.77481837561555e-05×R²
    0.000191749999999935×6.77481837561555e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.77481837561555e-05×40589641000000     		ar = 218204.404228164m²