Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25973 / 24808
↖ ↑ ↗
← S 67.508568°
E105.347900°		 ← 467.33 m → S 67.508568°
E105.358887°		 →
↑
467.31 m
↓
↑
467.31 m
↓
S 67.512771°
E105.347900°		 ← 467.25 m →
218 371 m²		 S 67.512771°
E105.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792648315429688 y=0.757095336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792648315429688 × 215)
    floor (0.792648315429688 × 32768)
    floor (25973.5)     		tx = 25973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757095336914062 × 215)
    floor (0.757095336914062 × 32768)
    floor (24808.5)     		ty = 24808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25973 / 24808 ti = "15/25973/24808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25973/24808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25973 ÷ 215
    25973 ÷ 32768     		x = 0.792633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24808 ÷ 215
    24808 ÷ 32768     		y = 0.757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792633056640625 × 2 - 1) × π
    0.58526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83866772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.51416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61528176959741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83866772} λ = 1.83866772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61528176959741))-π/2
    2×atan(0.198834636991312)-π/2
    2×0.196274767785801-π/2
    0.392549535571601-1.57079632675     		φ = -1.17824679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83866772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.347900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17824679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.508568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25973 KachelY 24808 1.83866772 -1.17824679 105.347900 -67.508568
    Oben rechts KachelX + 1 25974 KachelY 24808 1.83885947 -1.17824679 105.358887 -67.508568
    Unten links KachelX 25973 KachelY + 1 24809 1.83866772 -1.17832014 105.347900 -67.512771
    Unten rechts KachelX + 1 25974 KachelY + 1 24809 1.83885947 -1.17832014 105.358887 -67.512771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17824679--1.17832014) × R
    7.33500000000831e-05 × 6371000     		dl = 467.312850000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17824679--1.17832014) × R
    7.33500000000831e-05 × 6371000     		dr = 467.312850000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83866772-1.83885947) × cos(-1.17824679) × R
    0.000191750000000157 × 0.382545266610663 × 6371000     		do = 467.332312593683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83866772-1.83885947) × cos(-1.17832014) × R
    0.000191750000000157 × 0.382477494820982 × 6371000     		du = 467.249519915366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17824679)-sin(-1.17832014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382545266610663-0.382477494820982)×R²
    abs(1.83885947-1.83866772)×6.77717896805929e-05×R²
    0.000191750000000157×6.77717896805929e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.77717896805929e-05×40589641000000     		ar = 218371.049952481m²