Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25972 / 24807
↖ ↑ ↗
← S 67.504365°
E105.336914°		 ← 467.42 m → S 67.504365°
E105.347900°		 →
↑
467.38 m
↓
↑
467.38 m
↓
S 67.508568°
E105.336914°		 ← 467.33 m →
218 440 m²		 S 67.508568°
E105.347900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792617797851562 y=0.757064819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792617797851562 × 215)
    floor (0.792617797851562 × 32768)
    floor (25972.5)     		tx = 25972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757064819335938 × 215)
    floor (0.757064819335938 × 32768)
    floor (24807.5)     		ty = 24807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25972 / 24807 ti = "15/25972/24807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25972/24807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25972 ÷ 215
    25972 ÷ 32768     		x = 0.7926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24807 ÷ 215
    24807 ÷ 32768     		y = 0.757049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7926025390625 × 2 - 1) × π
    0.585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83847597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757049560546875 × 2 - 1) × π
    -0.51409912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61509002199893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83847597} λ = 1.83847597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61509002199893))-π/2
    2×atan(0.198872766710975)-π/2
    2×0.196311447102757-π/2
    0.392622894205515-1.57079632675     		φ = -1.17817343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83847597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.336914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17817343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.504365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25972 KachelY 24807 1.83847597 -1.17817343 105.336914 -67.504365
    Oben rechts KachelX + 1 25973 KachelY 24807 1.83866772 -1.17817343 105.347900 -67.504365
    Unten links KachelX 25972 KachelY + 1 24808 1.83847597 -1.17824679 105.336914 -67.508568
    Unten rechts KachelX + 1 25973 KachelY + 1 24808 1.83866772 -1.17824679 105.347900 -67.508568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17817343--1.17824679) × R
    7.33600000000223e-05 × 6371000     		dl = 467.376560000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17817343--1.17824679) × R
    7.33600000000223e-05 × 6371000     		dr = 467.376560000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83847597-1.83866772) × cos(-1.17817343) × R
    0.000191749999999935 × 0.382613045581251 × 6371000     		do = 467.415114043937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83847597-1.83866772) × cos(-1.17824679) × R
    0.000191749999999935 × 0.382545266610663 × 6371000     		du = 467.332312593142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17817343)-sin(-1.17824679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382613045581251-0.382545266610663)×R²
    abs(1.83866772-1.83847597)×6.77789705886833e-05×R²
    0.000191749999999935×6.77789705886833e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.77789705886833e-05×40589641000000     		ar = 218439.518462916m²