Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2597 / 634
↖ ↑ ↗
← N 76.960333°
E 48.251953°		 ← 2 205.04 m → N 76.960333°
E 48.339844°		 →
↑
2 206.66 m
↓
↑
2 206.66 m
↓
N 76.940488°
E 48.251953°		 ← 2 208.33 m →
4 869 401 m²		 N 76.940488°
E 48.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6341552734375 y=0.1549072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6341552734375 × 212)
    floor (0.6341552734375 × 4096)
    floor (2597.5)     		tx = 2597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1549072265625 × 212)
    floor (0.1549072265625 × 4096)
    floor (634.5)     		ty = 634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2597 / 634 ti = "12/2597/634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2597/634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2597 ÷ 212
    2597 ÷ 4096     		x = 0.634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 634 ÷ 212
    634 ÷ 4096     		y = 0.15478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634033203125 × 2 - 1) × π
    0.26806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.84215545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15478515625 × 2 - 1) × π
    0.6904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1690488340083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84215545} λ = 0.84215545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1690488340083))-π/2
    2×atan(8.74995741944291)-π/2
    2×1.45700377066474-π/2
    2.91400754132947-1.57079632675     		φ = 1.34321121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84215545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34321121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.960333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2597 KachelY 634 0.84215545 1.34321121 48.251953 76.960333
    Oben rechts KachelX + 1 2598 KachelY 634 0.84368943 1.34321121 48.339844 76.960333
    Unten links KachelX 2597 KachelY + 1 635 0.84215545 1.34286485 48.251953 76.940488
    Unten rechts KachelX + 1 2598 KachelY + 1 635 0.84368943 1.34286485 48.339844 76.940488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34321121-1.34286485) × R
    0.00034635999999999 × 6371000     		dl = 2206.65955999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34321121-1.34286485) × R
    0.00034635999999999 × 6371000     		dr = 2206.65955999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84215545-0.84368943) × cos(1.34321121) × R
    0.00153397999999993 × 0.225625570452356 × 6371000     		do = 2205.03567213563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84215545-0.84368943) × cos(1.34286485) × R
    0.00153397999999993 × 0.225962985705773 × 6371000     		du = 2208.33322687916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34321121)-sin(1.34286485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225625570452356-0.225962985705773)×R²
    abs(0.84368943-0.84215545)×0.000337415253416906×R²
    0.00153397999999993×0.000337415253416906×6371000²
    0.00153397999999993×0.000337415253416906×40589641000000     		ar = 4869401.38508986m²