Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25964 / 24812
↖ ↑ ↗
← S 67.525374°
E105.249023°		 ← 467 m → S 67.525374°
E105.260010°		 →
↑
466.93 m
↓
↑
466.93 m
↓
S 67.529573°
E105.249023°		 ← 466.92 m →
218 038 m²		 S 67.529573°
E105.260010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792373657226562 y=0.757217407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792373657226562 × 215)
    floor (0.792373657226562 × 32768)
    floor (25964.5)     		tx = 25964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757217407226562 × 215)
    floor (0.757217407226562 × 32768)
    floor (24812.5)     		ty = 24812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25964 / 24812 ti = "15/25964/24812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25964/24812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25964 ÷ 215
    25964 ÷ 32768     		x = 0.7923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24812 ÷ 215
    24812 ÷ 32768     		y = 0.7572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7923583984375 × 2 - 1) × π
    0.584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83694199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61604875999133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83694199} λ = 1.83694199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61604875999133))-π/2
    2×atan(0.198682191204462)-π/2
    2×0.196128115484731-π/2
    0.392256230969463-1.57079632675     		φ = -1.17854010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83694199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.249023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17854010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.525374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25964 KachelY 24812 1.83694199 -1.17854010 105.249023 -67.525374
    Oben rechts KachelX + 1 25965 KachelY 24812 1.83713374 -1.17854010 105.260010 -67.525374
    Unten links KachelX 25964 KachelY + 1 24813 1.83694199 -1.17861339 105.249023 -67.529573
    Unten rechts KachelX + 1 25965 KachelY + 1 24813 1.83713374 -1.17861339 105.260010 -67.529573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17854010--1.17861339) × R
    7.32900000000036e-05 × 6371000     		dl = 466.930590000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17854010--1.17861339) × R
    7.32900000000036e-05 × 6371000     		dr = 466.930590000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83694199-1.83713374) × cos(-1.17854010) × R
    0.000191750000000157 × 0.382274250270919 × 6371000     		do = 467.00122839566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83694199-1.83713374) × cos(-1.17861339) × R
    0.000191750000000157 × 0.38220652569931 × 6371000     		du = 466.918493400793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17854010)-sin(-1.17861339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382274250270919-0.38220652569931)×R²
    abs(1.83713374-1.83694199)×6.77245716088626e-05×R²
    0.000191750000000157×6.77245716088626e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.77245716088626e-05×40589641000000     		ar = 218037.843452535m²