Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25955 / 24803
↖ ↑ ↗
← S 67.487545°
E105.150147°		 ← 467.72 m → S 67.487545°
E105.161133°		 →
↑
467.70 m
↓
↑
467.70 m
↓
S 67.491751°
E105.150147°		 ← 467.64 m →
218 732 m²		 S 67.491751°
E105.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792098999023438 y=0.756942749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792098999023438 × 215)
    floor (0.792098999023438 × 32768)
    floor (25955.5)     		tx = 25955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756942749023438 × 215)
    floor (0.756942749023438 × 32768)
    floor (24803.5)     		ty = 24803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25955 / 24803 ti = "15/25955/24803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25955/24803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25955 ÷ 215
    25955 ÷ 32768     		x = 0.792083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24803 ÷ 215
    24803 ÷ 32768     		y = 0.756927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792083740234375 × 2 - 1) × π
    0.58416748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83521627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.51385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61432303160501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83521627} λ = 1.83521627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61432303160501))-π/2
    2×atan(0.199025358723478)-π/2
    2×0.196458229365956-π/2
    0.392916458731912-1.57079632675     		φ = -1.17787987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83521627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.150147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17787987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.487545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25955 KachelY 24803 1.83521627 -1.17787987 105.150147 -67.487545
    Oben rechts KachelX + 1 25956 KachelY 24803 1.83540801 -1.17787987 105.161133 -67.487545
    Unten links KachelX 25955 KachelY + 1 24804 1.83521627 -1.17795328 105.150147 -67.491751
    Unten rechts KachelX + 1 25956 KachelY + 1 24804 1.83540801 -1.17795328 105.161133 -67.491751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17787987--1.17795328) × R
    7.34100000001625e-05 × 6371000     		dl = 467.695110001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17787987--1.17795328) × R
    7.34100000001625e-05 × 6371000     		dr = 467.695110001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83521627-1.83540801) × cos(-1.17787987) × R
    0.000191739999999996 × 0.382884251724474 × 6371000     		do = 467.72203655781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83521627-1.83540801) × cos(-1.17795328) × R
    0.000191739999999996 × 0.382816434804641 × 6371000     		du = 467.639193067344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17787987)-sin(-1.17795328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382884251724474-0.382816434804641)×R²
    abs(1.83540801-1.83521627)×6.78169198324863e-05×R²
    0.000191739999999996×6.78169198324863e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.78169198324863e-05×40589641000000     		ar = 218731.93668852m²