Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25953 / 24929
↖ ↑ ↗
← S 68.011685°
E105.128174°		 ← 457.40 m → S 68.011685°
E105.139160°		 →
↑
457.37 m
↓
↑
457.37 m
↓
S 68.015798°
E105.128174°		 ← 457.32 m →
209 186 m²		 S 68.015798°
E105.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792037963867188 y=0.760787963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792037963867188 × 215)
    floor (0.792037963867188 × 32768)
    floor (25953.5)     		tx = 25953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760787963867188 × 215)
    floor (0.760787963867188 × 32768)
    floor (24929.5)     		ty = 24929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25953 / 24929 ti = "15/25953/24929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25953/24929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25953 ÷ 215
    25953 ÷ 32768     		x = 0.792022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24929 ÷ 215
    24929 ÷ 32768     		y = 0.760772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792022705078125 × 2 - 1) × π
    0.58404541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83483277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.52154541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63848322901352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83483277} λ = 1.83483277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63848322901352))-π/2
    2×atan(0.194274488838535)-π/2
    2×0.191884248112606-π/2
    0.383768496225212-1.57079632675     		φ = -1.18702783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83483277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.128174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18702783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.011685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25953 KachelY 24929 1.83483277 -1.18702783 105.128174 -68.011685
    Oben rechts KachelX + 1 25954 KachelY 24929 1.83502452 -1.18702783 105.139160 -68.011685
    Unten links KachelX 25953 KachelY + 1 24930 1.83483277 -1.18709962 105.128174 -68.015798
    Unten rechts KachelX + 1 25954 KachelY + 1 24930 1.83502452 -1.18709962 105.139160 -68.015798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18702783--1.18709962) × R
    7.1790000000016e-05 × 6371000     		dl = 457.374090000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18702783--1.18709962) × R
    7.1790000000016e-05 × 6371000     		dr = 457.374090000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83483277-1.83502452) × cos(-1.18702783) × R
    0.000191749999999935 × 0.374417497009192 × 6371000     		do = 457.403110233031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83483277-1.83502452) × cos(-1.18709962) × R
    0.000191749999999935 × 0.374350928032353 × 6371000     		du = 457.321786958093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18702783)-sin(-1.18709962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374417497009192-0.374350928032353)×R²
    abs(1.83502452-1.83483277)×6.65689768385991e-05×R²
    0.000191749999999935×6.65689768385991e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.65689768385991e-05×40589641000000     		ar = 209185.733816191m²