Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25950 / 24802
↖ ↑ ↗
← S 67.483338°
E105.095215°		 ← 467.80 m → S 67.483338°
E105.106201°		 →
↑
467.82 m
↓
↑
467.82 m
↓
S 67.487545°
E105.095215°		 ← 467.72 m →
218 830 m²		 S 67.487545°
E105.106201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791946411132812 y=0.756912231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791946411132812 × 215)
    floor (0.791946411132812 × 32768)
    floor (25950.5)     		tx = 25950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756912231445312 × 215)
    floor (0.756912231445312 × 32768)
    floor (24802.5)     		ty = 24802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25950 / 24802 ti = "15/25950/24802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25950/24802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25950 ÷ 215
    25950 ÷ 32768     		x = 0.79193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24802 ÷ 215
    24802 ÷ 32768     		y = 0.75689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79193115234375 × 2 - 1) × π
    0.5838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83425753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.5137939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61413128400653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83425753} λ = 1.83425753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61413128400653))-π/2
    2×atan(0.19906352501708)-π/2
    2×0.196494941185368-π/2
    0.392989882370736-1.57079632675     		φ = -1.17780644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83425753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.095215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17780644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.483338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25950 KachelY 24802 1.83425753 -1.17780644 105.095215 -67.483338
    Oben rechts KachelX + 1 25951 KachelY 24802 1.83444927 -1.17780644 105.106201 -67.483338
    Unten links KachelX 25950 KachelY + 1 24803 1.83425753 -1.17787987 105.095215 -67.487545
    Unten rechts KachelX + 1 25951 KachelY + 1 24803 1.83444927 -1.17787987 105.106201 -67.487545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17780644--1.17787987) × R
    7.3430000000041e-05 × 6371000     		dl = 467.822530000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17780644--1.17787987) × R
    7.3430000000041e-05 × 6371000     		dr = 467.822530000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83425753-1.83444927) × cos(-1.17780644) × R
    0.000191739999999996 × 0.382952085056296 × 6371000     		do = 467.804900096761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83425753-1.83444927) × cos(-1.17787987) × R
    0.000191739999999996 × 0.382884251724474 × 6371000     		du = 467.72203655781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17780644)-sin(-1.17787987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382952085056296-0.382884251724474)×R²
    abs(1.83444927-1.83425753)×6.78333318226421e-05×R²
    0.000191739999999996×6.78333318226421e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.78333318226421e-05×40589641000000     		ar = 218830.289292814m²