Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2595 / 1562
↖ ↑ ↗
← N 81.004326°
W122.980957°		 ← 382.03 m → N 81.004326°
W122.958984°		 →
↑
382.07 m
↓
↑
382.07 m
↓
N 81.000890°
W122.980957°		 ← 382.18 m →
145 990 m²		 N 81.000890°
W122.958984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158416748046875 y=0.095367431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158416748046875 × 214)
    floor (0.158416748046875 × 16384)
    floor (2595.5)     		tx = 2595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095367431640625 × 214)
    floor (0.095367431640625 × 16384)
    floor (1562.5)     		ty = 1562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2595 / 1562 ti = "14/2595/1562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2595/1562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2595 ÷ 214
    2595 ÷ 16384     		x = 0.15838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1562 ÷ 214
    1562 ÷ 16384     		y = 0.0953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.6832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14642262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953369140625 × 2 - 1) × π
    0.809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14642262} λ = -2.14642262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54257315584778))-π/2
    2×atan(12.7123397532493)-π/2
    2×1.49229425846156-π/2
    2.98458851692311-1.57079632675     		φ = 1.41379219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14642262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41379219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.004326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2595 KachelY 1562 -2.14642262 1.41379219 -122.980957 81.004326
    Oben rechts KachelX + 1 2596 KachelY 1562 -2.14603912 1.41379219 -122.958984 81.004326
    Unten links KachelX 2595 KachelY + 1 1563 -2.14642262 1.41373222 -122.980957 81.000890
    Unten rechts KachelX + 1 2596 KachelY + 1 1563 -2.14603912 1.41373222 -122.958984 81.000890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41379219-1.41373222) × R
    5.99699999999093e-05 × 6371000     		dl = 382.068869999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41379219-1.41373222) × R
    5.99699999999093e-05 × 6371000     		dr = 382.068869999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14642262--2.14603912) × cos(1.41379219) × R
    0.00038349999999987 × 0.156359898189517 × 6371000     		do = 382.030777508507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14642262--2.14603912) × cos(1.41373222) × R
    0.00038349999999987 × 0.156419130286187 × 6371000     		du = 382.17549801681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41379219)-sin(1.41373222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156359898189517-0.156419130286187)×R²
    abs(-2.14603912--2.14642262)×5.92320966698312e-05×R²
    0.00038349999999987×5.92320966698312e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.92320966698312e-05×40589641000000     		ar = 145989.714111523m²