Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2595 / 1505
↖ ↑ ↗
← N 81.198058°
W122.980957°		 ← 373.87 m → N 81.198058°
W122.958984°		 →
↑
373.98 m
↓
↑
373.98 m
↓
N 81.194695°
W122.980957°		 ← 374.01 m →
139 845 m²		 N 81.194695°
W122.958984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158416748046875 y=0.091888427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158416748046875 × 214)
    floor (0.158416748046875 × 16384)
    floor (2595.5)     		tx = 2595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.091888427734375 × 214)
    floor (0.091888427734375 × 16384)
    floor (1505.5)     		ty = 1505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2595 / 1505 ti = "14/2595/1505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2595/1505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2595 ÷ 214
    2595 ÷ 16384     		x = 0.15838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1505 ÷ 214
    1505 ÷ 16384     		y = 0.09185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.6832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14642262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09185791015625 × 2 - 1) × π
    0.8162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56443238207452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14642262} λ = -2.14642262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56443238207452))-π/2
    2×atan(12.9932810568826)-π/2
    2×1.49398489201281-π/2
    2.98796978402563-1.57079632675     		φ = 1.41717346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14642262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41717346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.198058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2595 KachelY 1505 -2.14642262 1.41717346 -122.980957 81.198058
    Oben rechts KachelX + 1 2596 KachelY 1505 -2.14603912 1.41717346 -122.958984 81.198058
    Unten links KachelX 2595 KachelY + 1 1506 -2.14642262 1.41711476 -122.980957 81.194695
    Unten rechts KachelX + 1 2596 KachelY + 1 1506 -2.14603912 1.41711476 -122.958984 81.194695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41717346-1.41711476) × R
    5.87000000000781e-05 × 6371000     		dl = 373.977700000498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41717346-1.41711476) × R
    5.87000000000781e-05 × 6371000     		dr = 373.977700000498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14642262--2.14603912) × cos(1.41717346) × R
    0.00038349999999987 × 0.153019329844572 × 6371000     		do = 373.868838693524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14642262--2.14603912) × cos(1.41711476) × R
    0.00038349999999987 × 0.153077338282503 × 6371000     		du = 374.010569462739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41717346)-sin(1.41711476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153019329844572-0.153077338282503)×R²
    abs(-2.14603912--2.14642262)×5.80084379309675e-05×R²
    0.00038349999999987×5.80084379309675e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.80084379309675e-05×40589641000000     		ar = 139845.110510752m²