Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25949 / 24826
↖ ↑ ↗
← S 67.584098°
E105.084229°		 ← 465.84 m → S 67.584098°
E105.095215°		 →
↑
465.78 m
↓
↑
465.78 m
↓
S 67.588287°
E105.084229°		 ← 465.76 m →
216 963 m²		 S 67.588287°
E105.095215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791915893554688 y=0.757644653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791915893554688 × 215)
    floor (0.791915893554688 × 32768)
    floor (25949.5)     		tx = 25949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757644653320312 × 215)
    floor (0.757644653320312 × 32768)
    floor (24826.5)     		ty = 24826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25949 / 24826 ti = "15/25949/24826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25949/24826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25949 ÷ 215
    25949 ÷ 32768     		x = 0.791900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24826 ÷ 215
    24826 ÷ 32768     		y = 0.75762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791900634765625 × 2 - 1) × π
    0.58380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83406578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.5152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61873322637006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83406578} λ = 1.83406578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61873322637006))-π/2
    2×atan(0.198149550789632)-π/2
    2×0.195615650251123-π/2
    0.391231300502247-1.57079632675     		φ = -1.17956503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83406578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.084229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17956503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.584098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25949 KachelY 24826 1.83406578 -1.17956503 105.084229 -67.584098
    Oben rechts KachelX + 1 25950 KachelY 24826 1.83425753 -1.17956503 105.095215 -67.584098
    Unten links KachelX 25949 KachelY + 1 24827 1.83406578 -1.17963814 105.084229 -67.588287
    Unten rechts KachelX + 1 25950 KachelY + 1 24827 1.83425753 -1.17963814 105.095215 -67.588287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17956503--1.17963814) × R
    7.31099999999874e-05 × 6371000     		dl = 465.783809999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17956503--1.17963814) × R
    7.31099999999874e-05 × 6371000     		dr = 465.783809999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83406578-1.83425753) × cos(-1.17956503) × R
    0.000191749999999935 × 0.381326964196139 × 6371000     		do = 465.84398654519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83406578-1.83425753) × cos(-1.17963814) × R
    0.000191749999999935 × 0.381259377351575 × 6371000     		du = 465.761419803088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17956503)-sin(-1.17963814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381326964196139-0.381259377351575)×R²
    abs(1.83425753-1.83406578)×6.75868445630945e-05×R²
    0.000191749999999935×6.75868445630945e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.75868445630945e-05×40589641000000     		ar = 216963.357889404m²