Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25930 / 24467
↖ ↑ ↗
← S 66.031411°
E104.875489°		 ← 496.25 m → S 66.031411°
E104.886474°		 →
↑
496.24 m
↓
↑
496.24 m
↓
S 66.035874°
E104.875489°		 ← 496.16 m →
246 235 m²		 S 66.035874°
E104.886474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791336059570312 y=0.746688842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791336059570312 × 215)
    floor (0.791336059570312 × 32768)
    floor (25930.5)     		tx = 25930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746688842773438 × 215)
    floor (0.746688842773438 × 32768)
    floor (24467.5)     		ty = 24467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25930 / 24467 ti = "15/25930/24467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25930/24467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25930 ÷ 215
    25930 ÷ 32768     		x = 0.79132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24467 ÷ 215
    24467 ÷ 32768     		y = 0.746673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79132080078125 × 2 - 1) × π
    0.5826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83042258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.49334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54989583851566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83042258} λ = 1.83042258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54989583851566))-π/2
    2×atan(0.21227008304219)-π/2
    2×0.209165399337798-π/2
    0.418330798675596-1.57079632675     		φ = -1.15246553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83042258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.875489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15246553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.031411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25930 KachelY 24467 1.83042258 -1.15246553 104.875489 -66.031411
    Oben rechts KachelX + 1 25931 KachelY 24467 1.83061432 -1.15246553 104.886474 -66.031411
    Unten links KachelX 25930 KachelY + 1 24468 1.83042258 -1.15254342 104.875489 -66.035874
    Unten rechts KachelX + 1 25931 KachelY + 1 24468 1.83061432 -1.15254342 104.886474 -66.035874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15246553--1.15254342) × R
    7.78900000000249e-05 × 6371000     		dl = 496.237190000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15246553--1.15254342) × R
    7.78900000000249e-05 × 6371000     		dr = 496.237190000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83042258-1.83061432) × cos(-1.15246553) × R
    0.000191739999999996 × 0.406235754722646 × 6371000     		do = 496.247661442613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83042258-1.83061432) × cos(-1.15254342) × R
    0.000191739999999996 × 0.40616458007731 × 6371000     		du = 496.160716236803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15246553)-sin(-1.15254342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406235754722646-0.40616458007731)×R²
    abs(1.83061432-1.83042258)×7.11746453356255e-05×R²
    0.000191739999999996×7.11746453356255e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.11746453356255e-05×40589641000000     		ar = 246234.972460176m²