Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2593 / 673
↖ ↑ ↗
← N 76.163992°
E 47.900391°		 ← 2 337.15 m → N 76.163992°
E 47.988281°		 →
↑
2 338.86 m
↓
↑
2 338.86 m
↓
N 76.142959°
E 47.900391°		 ← 2 340.63 m →
5 470 331 m²		 N 76.142959°
E 47.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6331787109375 y=0.1644287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6331787109375 × 212)
    floor (0.6331787109375 × 4096)
    floor (2593.5)     		tx = 2593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1644287109375 × 212)
    floor (0.1644287109375 × 4096)
    floor (673.5)     		ty = 673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2593 / 673 ti = "12/2593/673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2593/673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2593 ÷ 212
    2593 ÷ 4096     		x = 0.633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 673 ÷ 212
    673 ÷ 4096     		y = 0.164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633056640625 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83601953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164306640625 × 2 - 1) × π
    0.67138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83601953} λ = 0.83601953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10922358328247))-π/2
    2×atan(8.24183969767421)-π/2
    2×1.45005438469797-π/2
    2.90010876939593-1.57079632675     		φ = 1.32931244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83601953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32931244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.163992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2593 KachelY 673 0.83601953 1.32931244 47.900391 76.163992
    Oben rechts KachelX + 1 2594 KachelY 673 0.83755351 1.32931244 47.988281 76.163992
    Unten links KachelX 2593 KachelY + 1 674 0.83601953 1.32894533 47.900391 76.142959
    Unten rechts KachelX + 1 2594 KachelY + 1 674 0.83755351 1.32894533 47.988281 76.142959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32931244-1.32894533) × R
    0.000367110000000004 × 6371000     		dl = 2338.85781000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32931244-1.32894533) × R
    0.000367110000000004 × 6371000     		dr = 2338.85781000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83601953-0.83755351) × cos(1.32931244) × R
    0.00153398000000005 × 0.239143719791403 × 6371000     		do = 2337.14836421273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83601953-0.83755351) × cos(1.32894533) × R
    0.00153398000000005 × 0.239500161671703 × 6371000     		du = 2340.63186592545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32931244)-sin(1.32894533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239143719791403-0.239500161671703)×R²
    abs(0.83755351-0.83601953)×0.000356441880300179×R²
    0.00153398000000005×0.000356441880300179×6371000²
    0.00153398000000005×0.000356441880300179×40589641000000     		ar = 5470331.47379925m²