Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2592 / 1570
↖ ↑ ↗
← N 80.976799°
W123.046875°		 ← 383.18 m → N 80.976799°
W123.024902°		 →
↑
383.28 m
↓
↑
383.28 m
↓
N 80.973352°
W123.046875°		 ← 383.33 m →
146 893 m²		 N 80.973352°
W123.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158233642578125 y=0.095855712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158233642578125 × 214)
    floor (0.158233642578125 × 16384)
    floor (2592.5)     		tx = 2592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095855712890625 × 214)
    floor (0.095855712890625 × 16384)
    floor (1570.5)     		ty = 1570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2592 / 1570 ti = "14/2592/1570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2592/1570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2592 ÷ 214
    2592 ÷ 16384     		x = 0.158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1570 ÷ 214
    1570 ÷ 16384     		y = 0.0958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158203125 × 2 - 1) × π
    -0.68359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14757310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0958251953125 × 2 - 1) × π
    0.808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53950519427209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14757310} λ = -2.14757310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53950519427209))-π/2
    2×atan(12.6733985489527)-π/2
    2×1.4920540416193-π/2
    2.98410808323859-1.57079632675     		φ = 1.41331176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14757310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41331176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.976799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2592 KachelY 1570 -2.14757310 1.41331176 -123.046875 80.976799
    Oben rechts KachelX + 1 2593 KachelY 1570 -2.14718961 1.41331176 -123.024902 80.976799
    Unten links KachelX 2592 KachelY + 1 1571 -2.14757310 1.41325160 -123.046875 80.973352
    Unten rechts KachelX + 1 2593 KachelY + 1 1571 -2.14718961 1.41325160 -123.024902 80.973352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41331176-1.41325160) × R
    6.01600000000868e-05 × 6371000     		dl = 383.279360000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41331176-1.41325160) × R
    6.01600000000868e-05 × 6371000     		dr = 383.279360000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14757310--2.14718961) × cos(1.41331176) × R
    0.000383489999999931 × 0.15683440090839 × 6371000     		do = 383.180127880099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14757310--2.14718961) × cos(1.41325160) × R
    0.000383489999999931 × 0.156893816139369 × 6371000     		du = 383.325292051178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41331176)-sin(1.41325160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15683440090839-0.156893816139369)×R²
    abs(-2.14718961--2.14757310)×5.94152309790763e-05×R²
    0.000383489999999931×5.94152309790763e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.94152309790763e-05×40589641000000     		ar = 146892.8534379m²