Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2591 / 1567
↖ ↑ ↗
← N 80.987131°
W123.068848°		 ← 382.75 m → N 80.987131°
W123.046875°		 →
↑
382.83 m
↓
↑
382.83 m
↓
N 80.983688°
W123.068848°		 ← 382.90 m →
146 559 m²		 N 80.983688°
W123.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158172607421875 y=0.095672607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158172607421875 × 214)
    floor (0.158172607421875 × 16384)
    floor (2591.5)     		tx = 2591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095672607421875 × 214)
    floor (0.095672607421875 × 16384)
    floor (1567.5)     		ty = 1567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2591 / 1567 ti = "14/2591/1567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2591/1567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2591 ÷ 214
    2591 ÷ 16384     		x = 0.15814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1567 ÷ 214
    1567 ÷ 16384     		y = 0.09564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.6837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14795660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09564208984375 × 2 - 1) × π
    0.8087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14795660} λ = -2.14795660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54065567986298))-π/2
    2×atan(12.6879875019517)-π/2
    2×1.49214420824449-π/2
    2.98428841648898-1.57079632675     		φ = 1.41349209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14795660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.068848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41349209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.987131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2591 KachelY 1567 -2.14795660 1.41349209 -123.068848 80.987131
    Oben rechts KachelX + 1 2592 KachelY 1567 -2.14757310 1.41349209 -123.046875 80.987131
    Unten links KachelX 2591 KachelY + 1 1568 -2.14795660 1.41343200 -123.068848 80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 2592 KachelY + 1 1568 -2.14757310 1.41343200 -123.046875 80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41349209-1.41343200) × R
    6.00900000000681e-05 × 6371000     		dl = 382.833390000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41349209-1.41343200) × R
    6.00900000000681e-05 × 6371000     		dr = 382.833390000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14795660--2.14757310) × cos(1.41349209) × R
    0.000383500000000314 × 0.156656299958577 × 6371000     		do = 382.754969578656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14795660--2.14757310) × cos(1.41343200) × R
    0.000383500000000314 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 382.89997277439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41349209)-sin(1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156656299958577-0.156715647755291)×R²
    abs(-2.14757310--2.14795660)×5.9347796714071e-05×R²
    0.000383500000000314×5.9347796714071e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.9347796714071e-05×40589641000000     		ar = 146559.138620606m²