Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2591 / 1358
↖ ↑ ↗
← N 81.678786°
W123.068848°		 ← 353.60 m → N 81.678786°
W123.046875°		 →
↑
353.65 m
↓
↑
353.65 m
↓
N 81.675606°
W123.068848°		 ← 353.73 m →
125 075 m²		 N 81.675606°
W123.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158172607421875 y=0.082916259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158172607421875 × 214)
    floor (0.158172607421875 × 16384)
    floor (2591.5)     		tx = 2591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082916259765625 × 214)
    floor (0.082916259765625 × 16384)
    floor (1358.5)     		ty = 1358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2591 / 1358 ti = "14/2591/1358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2591/1358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2591 ÷ 214
    2591 ÷ 16384     		x = 0.15814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1358 ÷ 214
    1358 ÷ 16384     		y = 0.0828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.6837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14795660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0828857421875 × 2 - 1) × π
    0.834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62080617602771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14795660} λ = -2.14795660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62080617602771))-π/2
    2×atan(13.7468014609145)-π/2
    2×1.49818004028892-π/2
    2.99636008057785-1.57079632675     		φ = 1.42556375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14795660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.068848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42556375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.678786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2591 KachelY 1358 -2.14795660 1.42556375 -123.068848 81.678786
    Oben rechts KachelX + 1 2592 KachelY 1358 -2.14757310 1.42556375 -123.046875 81.678786
    Unten links KachelX 2591 KachelY + 1 1359 -2.14795660 1.42550824 -123.068848 81.675606
    Unten rechts KachelX + 1 2592 KachelY + 1 1359 -2.14757310 1.42550824 -123.046875 81.675606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42556375-1.42550824) × R
    5.55099999999253e-05 × 6371000     		dl = 353.654209999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42556375-1.42550824) × R
    5.55099999999253e-05 × 6371000     		dr = 353.654209999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14795660--2.14757310) × cos(1.42556375) × R
    0.000383500000000314 × 0.144722561912631 × 6371000     		do = 353.59752398634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14795660--2.14757310) × cos(1.42550824) × R
    0.000383500000000314 × 0.144777487295535 × 6371000     		du = 353.731721993493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42556375)-sin(1.42550824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144722561912631-0.144777487295535)×R²
    abs(-2.14757310--2.14795660)×5.49253829038865e-05×R²
    0.000383500000000314×5.49253829038865e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.49253829038865e-05×40589641000000     		ar = 125074.982880287m²