Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25906 / 24914
↖ ↑ ↗
← S 67.949900°
E104.611816°		 ← 458.62 m → S 67.949900°
E104.622803°		 →
↑
458.58 m
↓
↑
458.58 m
↓
S 67.954025°
E104.611816°		 ← 458.54 m →
210 299 m²		 S 67.954025°
E104.622803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790603637695312 y=0.760330200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790603637695312 × 215)
    floor (0.790603637695312 × 32768)
    floor (25906.5)     		tx = 25906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760330200195312 × 215)
    floor (0.760330200195312 × 32768)
    floor (24914.5)     		ty = 24914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25906 / 24914 ti = "15/25906/24914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25906/24914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25906 ÷ 215
    25906 ÷ 32768     		x = 0.79058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24914 ÷ 215
    24914 ÷ 32768     		y = 0.76031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79058837890625 × 2 - 1) × π
    0.5811767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.82582063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.5206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63560701503632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82582063} λ = 1.82582063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63560701503632))-π/2
    2×atan(0.194834068187955)-π/2
    2×0.192423419091265-π/2
    0.38484683818253-1.57079632675     		φ = -1.18594949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82582063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.611816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18594949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.949900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25906 KachelY 24914 1.82582063 -1.18594949 104.611816 -67.949900
    Oben rechts KachelX + 1 25907 KachelY 24914 1.82601238 -1.18594949 104.622803 -67.949900
    Unten links KachelX 25906 KachelY + 1 24915 1.82582063 -1.18602147 104.611816 -67.954025
    Unten rechts KachelX + 1 25907 KachelY + 1 24915 1.82601238 -1.18602147 104.622803 -67.954025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18594949--1.18602147) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dl = 458.584579999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18594949--1.18602147) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dr = 458.584579999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82582063-1.82601238) × cos(-1.18594949) × R
    0.000191750000000157 × 0.375417180924508 × 6371000     		do = 458.624363342106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82582063-1.82601238) × cos(-1.18602147) × R
    0.000191750000000157 × 0.375350464861202 × 6371000     		du = 458.542860380566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18594949)-sin(-1.18602147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375417180924508-0.375350464861202)×R²
    abs(1.82601238-1.82582063)×6.67160633066044e-05×R²
    0.000191750000000157×6.67160633066044e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.67160633066044e-05×40589641000000     		ar = 210299.373131067m²