Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25902 / 24918
↖ ↑ ↗
← S 67.966393°
E104.567871°		 ← 458.30 m → S 67.966393°
E104.578857°		 →
↑
458.27 m
↓
↑
458.27 m
↓
S 67.970514°
E104.567871°		 ← 458.22 m →
210 004 m²		 S 67.970514°
E104.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790481567382812 y=0.760452270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790481567382812 × 215)
    floor (0.790481567382812 × 32768)
    floor (25902.5)     		tx = 25902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760452270507812 × 215)
    floor (0.760452270507812 × 32768)
    floor (24918.5)     		ty = 24918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25902 / 24918 ti = "15/25902/24918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25902/24918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25902 ÷ 215
    25902 ÷ 32768     		x = 0.79046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24918 ÷ 215
    24918 ÷ 32768     		y = 0.76043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79046630859375 × 2 - 1) × π
    0.5809326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82505364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76043701171875 × 2 - 1) × π
    -0.5208740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63637400543024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82505364} λ = 1.82505364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63637400543024))-π/2
    2×atan(0.194684689622531)-π/2
    2×0.192279499568526-π/2
    0.384558999137053-1.57079632675     		φ = -1.18623733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82505364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18623733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.966393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25902 KachelY 24918 1.82505364 -1.18623733 104.567871 -67.966393
    Oben rechts KachelX + 1 25903 KachelY 24918 1.82524539 -1.18623733 104.578857 -67.966393
    Unten links KachelX 25902 KachelY + 1 24919 1.82505364 -1.18630926 104.567871 -67.970514
    Unten rechts KachelX + 1 25903 KachelY + 1 24919 1.82524539 -1.18630926 104.578857 -67.970514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18623733--1.18630926) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dl = 458.26603000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18623733--1.18630926) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dr = 458.26603000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82505364-1.82524539) × cos(-1.18623733) × R
    0.000191750000000157 × 0.375150379161367 × 6371000     		do = 458.298427836284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82505364-1.82524539) × cos(-1.18630926) × R
    0.000191750000000157 × 0.375083701672899 × 6371000     		du = 458.216971999279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18623733)-sin(-1.18630926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375150379161367-0.375083701672899)×R²
    abs(1.82524539-1.82505364)×6.66774884684473e-05×R²
    0.000191750000000157×6.66774884684473e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.66774884684473e-05×40589641000000     		ar = 210003.93694907m²