Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25900 / 24804
↖ ↑ ↗
← S 67.491751°
E104.545899°		 ← 467.64 m → S 67.491751°
E104.556884°		 →
↑
467.63 m
↓
↑
467.63 m
↓
S 67.495957°
E104.545899°		 ← 467.56 m →
218 663 m²		 S 67.495957°
E104.556884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790420532226562 y=0.756973266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790420532226562 × 215)
    floor (0.790420532226562 × 32768)
    floor (25900.5)     		tx = 25900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756973266601562 × 215)
    floor (0.756973266601562 × 32768)
    floor (24804.5)     		ty = 24804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25900 / 24804 ti = "15/25900/24804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25900/24804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25900 ÷ 215
    25900 ÷ 32768     		x = 0.7904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24804 ÷ 215
    24804 ÷ 32768     		y = 0.7569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7904052734375 × 2 - 1) × π
    0.580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82467015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82467015} λ = 1.82467015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61451477920349))-π/2
    2×atan(0.198987199747469)-π/2
    2×0.196421524048943-π/2
    0.392843048097885-1.57079632675     		φ = -1.17795328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82467015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.545899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17795328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.491751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25900 KachelY 24804 1.82467015 -1.17795328 104.545899 -67.491751
    Oben rechts KachelX + 1 25901 KachelY 24804 1.82486189 -1.17795328 104.556884 -67.491751
    Unten links KachelX 25900 KachelY + 1 24805 1.82467015 -1.17802668 104.545899 -67.495957
    Unten rechts KachelX + 1 25901 KachelY + 1 24805 1.82486189 -1.17802668 104.556884 -67.495957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17795328--1.17802668) × R
    7.34000000000012e-05 × 6371000     		dl = 467.631400000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17795328--1.17802668) × R
    7.34000000000012e-05 × 6371000     		dr = 467.631400000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82467015-1.82486189) × cos(-1.17795328) × R
    0.000191739999999996 × 0.382816434804641 × 6371000     		do = 467.639193067344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82467015-1.82486189) × cos(-1.17802668) × R
    0.000191739999999996 × 0.382748625060326 × 6371000     		du = 467.556358342315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17795328)-sin(-1.17802668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382816434804641-0.382748625060326)×R²
    abs(1.82486189-1.82467015)×6.78097443155279e-05×R²
    0.000191739999999996×6.78097443155279e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.78097443155279e-05×40589641000000     		ar = 218663.402587508m²