Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2590 / 1443
↖ ↑ ↗
← N 81.404086°
W123.090820°		 ← 365.17 m → N 81.404086°
W123.068848°		 →
↑
365.25 m
↓
↑
365.25 m
↓
N 81.400802°
W123.090820°		 ← 365.31 m →
133 405 m²		 N 81.400802°
W123.068848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158111572265625 y=0.088104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158111572265625 × 214)
    floor (0.158111572265625 × 16384)
    floor (2590.5)     		tx = 2590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088104248046875 × 214)
    floor (0.088104248046875 × 16384)
    floor (1443.5)     		ty = 1443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2590 / 1443 ti = "14/2590/1443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2590/1443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2590 ÷ 214
    2590 ÷ 16384     		x = 0.1580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1443 ÷ 214
    1443 ÷ 16384     		y = 0.08807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14834009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08807373046875 × 2 - 1) × π
    0.8238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58820908428607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14834009} λ = -2.14834009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58820908428607))-π/2
    2×atan(13.3059204698283)-π/2
    2×1.49578283010674-π/2
    2.99156566021348-1.57079632675     		φ = 1.42076933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14834009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.090820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42076933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.404086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2590 KachelY 1443 -2.14834009 1.42076933 -123.090820 81.404086
    Oben rechts KachelX + 1 2591 KachelY 1443 -2.14795660 1.42076933 -123.068848 81.404086
    Unten links KachelX 2590 KachelY + 1 1444 -2.14834009 1.42071200 -123.090820 81.400802
    Unten rechts KachelX + 1 2591 KachelY + 1 1444 -2.14795660 1.42071200 -123.068848 81.400802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42076933-1.42071200) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dl = 365.249429999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42076933-1.42071200) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dr = 365.249429999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14834009--2.14795660) × cos(1.42076933) × R
    0.000383489999999931 × 0.14946482606913 × 6371000     		do = 365.174673636809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14834009--2.14795660) × cos(1.42071200) × R
    0.000383489999999931 × 0.149521511838061 × 6371000     		du = 365.313169145846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42076933)-sin(1.42071200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14946482606913-0.149521511838061)×R²
    abs(-2.14795660--2.14834009)×5.66857689318079e-05×R²
    0.000383489999999931×5.66857689318079e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.66857689318079e-05×40589641000000     		ar = 133405.134135275m²