Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2590 / 1438
↖ ↑ ↗
← N 81.420492°
W123.090820°		 ← 364.48 m → N 81.420492°
W123.068848°		 →
↑
364.55 m
↓
↑
364.55 m
↓
N 81.417213°
W123.090820°		 ← 364.62 m →
132 897 m²		 N 81.417213°
W123.068848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158111572265625 y=0.087799072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158111572265625 × 214)
    floor (0.158111572265625 × 16384)
    floor (2590.5)     		tx = 2590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087799072265625 × 214)
    floor (0.087799072265625 × 16384)
    floor (1438.5)     		ty = 1438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2590 / 1438 ti = "14/2590/1438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2590/1438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2590 ÷ 214
    2590 ÷ 16384     		x = 0.1580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1438 ÷ 214
    1438 ÷ 16384     		y = 0.0877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14834009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0877685546875 × 2 - 1) × π
    0.824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59012656027087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14834009} λ = -2.14834009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59012656027087))-π/2
    2×atan(13.3314587294599)-π/2
    2×1.49592599195301-π/2
    2.99185198390603-1.57079632675     		φ = 1.42105566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14834009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.090820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42105566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.420492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2590 KachelY 1438 -2.14834009 1.42105566 -123.090820 81.420492
    Oben rechts KachelX + 1 2591 KachelY 1438 -2.14795660 1.42105566 -123.068848 81.420492
    Unten links KachelX 2590 KachelY + 1 1439 -2.14834009 1.42099844 -123.090820 81.417213
    Unten rechts KachelX + 1 2591 KachelY + 1 1439 -2.14795660 1.42099844 -123.068848 81.417213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42105566-1.42099844) × R
    5.7219999999969e-05 × 6371000     		dl = 364.548619999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42105566-1.42099844) × R
    5.7219999999969e-05 × 6371000     		dr = 364.548619999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14834009--2.14795660) × cos(1.42105566) × R
    0.000383489999999931 × 0.149181706278584 × 6371000     		do = 364.482951177207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14834009--2.14795660) × cos(1.42099844) × R
    0.000383489999999931 × 0.14923828573103 × 6371000     		du = 364.621186932232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42105566)-sin(1.42099844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149181706278584-0.14923828573103)×R²
    abs(-2.14795660--2.14834009)×5.65794524453322e-05×R²
    0.000383489999999931×5.65794524453322e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.65794524453322e-05×40589641000000     		ar = 132896.953727158m²