Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 259 / 779
↖ ↑ ↗
← N 39.504041°
W134.472657°		 ← 15.081 km → N 39.504041°
W134.296875°		 →
↑
15.096 km
↓
↑
15.096 km
↓
N 39.368279°
W134.472657°		 ← 15.111 km →
227.890 km²		 N 39.368279°
W134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126708984375 y=0.380615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126708984375 × 211)
    floor (0.126708984375 × 2048)
    floor (259.5)     		tx = 259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380615234375 × 211)
    floor (0.380615234375 × 2048)
    floor (779.5)     		ty = 779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 259 / 779 ti = "11/259/779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/259/779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 259 ÷ 211
    259 ÷ 2048     		x = 0.12646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 779 ÷ 211
    779 ÷ 2048     		y = 0.38037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34699061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    0.2392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.75165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34699061} λ = -2.34699061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75165058604248))-π/2
    2×atan(2.12049719269305)-π/2
    2×1.13013595246631-π/2
    2.26027190493263-1.57079632675     		φ = 0.68947558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34699061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.472657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68947558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.504041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 259 KachelY 779 -2.34699061 0.68947558 -134.472657 39.504041
    Oben rechts KachelX + 1 260 KachelY 779 -2.34392264 0.68947558 -134.296875 39.504041
    Unten links KachelX 259 KachelY + 1 780 -2.34699061 0.68710609 -134.472657 39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 260 KachelY + 1 780 -2.34392264 0.68710609 -134.296875 39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68947558-0.68710609) × R
    0.00236948999999997 × 6371000     		dl = 15096.0207899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68947558-0.68710609) × R
    0.00236948999999997 × 6371000     		dr = 15096.0207899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34699061--2.34392264) × cos(0.68947558) × R
    0.00306797000000003 × 0.771579721758282 × 6371000     		do = 15081.3256896319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34699061--2.34392264) × cos(0.68710609) × R
    0.00306797000000003 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 15110.7452605119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68947558)-sin(0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771579721758282-0.773084864262395)×R²
    abs(-2.34392264--2.34699061)×0.00150514250411271×R²
    0.00306797000000003×0.00150514250411271×6371000²
    0.00306797000000003×0.00150514250411271×40589641000000     		ar = 227890172.002058m²