Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 259 / 242
↖ ↑ ↗
← N 79.624057°
W134.472657°		 ← 3 520.36 m → N 79.624057°
W134.296875°		 →
↑
3 525.71 m
↓
↑
3 525.71 m
↓
N 79.592349°
W134.472657°		 ← 3 531 m →
12 430 535 m²		 N 79.592349°
W134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126708984375 y=0.118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126708984375 × 211)
    floor (0.126708984375 × 2048)
    floor (259.5)     		tx = 259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118408203125 × 211)
    floor (0.118408203125 × 2048)
    floor (242.5)     		ty = 242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 259 / 242 ti = "11/259/242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/259/242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 259 ÷ 211
    259 ÷ 2048     		x = 0.12646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 242 ÷ 211
    242 ÷ 2048     		y = 0.1181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34699061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1181640625 × 2 - 1) × π
    0.763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39914595218457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34699061} λ = -2.34699061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39914595218457))-π/2
    2×atan(11.01376607993)-π/2
    2×1.48024913643465-π/2
    2.9604982728693-1.57079632675     		φ = 1.38970195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34699061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.472657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38970195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.624057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 259 KachelY 242 -2.34699061 1.38970195 -134.472657 79.624057
    Oben rechts KachelX + 1 260 KachelY 242 -2.34392264 1.38970195 -134.296875 79.624057
    Unten links KachelX 259 KachelY + 1 243 -2.34699061 1.38914855 -134.472657 79.592349
    Unten rechts KachelX + 1 260 KachelY + 1 243 -2.34392264 1.38914855 -134.296875 79.592349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38970195-1.38914855) × R
    0.000553400000000037 × 6371000     		dl = 3525.71140000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38970195-1.38914855) × R
    0.000553400000000037 × 6371000     		dr = 3525.71140000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34699061--2.34392264) × cos(1.38970195) × R
    0.00306797000000003 × 0.180106161709778 × 6371000     		do = 3520.36167729353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34699061--2.34392264) × cos(1.38914855) × R
    0.00306797000000003 × 0.180650484451326 × 6371000     		du = 3531.00102966901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38970195)-sin(1.38914855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180106161709778-0.180650484451326)×R²
    abs(-2.34392264--2.34699061)×0.000544322741547892×R²
    0.00306797000000003×0.000544322741547892×6371000²
    0.00306797000000003×0.000544322741547892×40589641000000     		ar = 12430535.2579735m²