Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25884 / 24931
↖ ↑ ↗
← S 68.019910°
E104.370117°		 ← 457.22 m → S 68.019910°
E104.381103°		 →
↑
457.18 m
↓
↑
457.18 m
↓
S 68.024022°
E104.370117°		 ← 457.14 m →
209 013 m²		 S 68.024022°
E104.381103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789932250976562 y=0.760848999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789932250976562 × 215)
    floor (0.789932250976562 × 32768)
    floor (25884.5)     		tx = 25884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760848999023438 × 215)
    floor (0.760848999023438 × 32768)
    floor (24931.5)     		ty = 24931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25884 / 24931 ti = "15/25884/24931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25884/24931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25884 ÷ 215
    25884 ÷ 32768     		x = 0.7899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24931 ÷ 215
    24931 ÷ 32768     		y = 0.760833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7899169921875 × 2 - 1) × π
    0.579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.82160219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.52166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63886672421048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82160219} λ = 1.82160219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63886672421048))-π/2
    2×atan(0.194199999789183)-π/2
    2×0.191812467220467-π/2
    0.383624934440934-1.57079632675     		φ = -1.18717139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82160219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.370117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18717139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.019910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25884 KachelY 24931 1.82160219 -1.18717139 104.370117 -68.019910
    Oben rechts KachelX + 1 25885 KachelY 24931 1.82179393 -1.18717139 104.381103 -68.019910
    Unten links KachelX 25884 KachelY + 1 24932 1.82160219 -1.18724315 104.370117 -68.024022
    Unten rechts KachelX + 1 25885 KachelY + 1 24932 1.82179393 -1.18724315 104.381103 -68.024022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18717139--1.18724315) × R
    7.17599999999763e-05 × 6371000     		dl = 457.182959999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18717139--1.18724315) × R
    7.17599999999763e-05 × 6371000     		dr = 457.182959999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82160219-1.82179393) × cos(-1.18717139) × R
    0.000191739999999996 × 0.374284375672462 × 6371000     		do = 457.216638325641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82160219-1.82179393) × cos(-1.18724315) × R
    0.000191739999999996 × 0.374217830658067 × 6371000     		du = 457.135348563746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18717139)-sin(-1.18724315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374284375672462-0.374217830658067)×R²
    abs(1.82179393-1.82160219)×6.65450143957913e-05×R²
    0.000191739999999996×6.65450143957913e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.65450143957913e-05×40589641000000     		ar = 209013.074013536m²