Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2588 / 1529
↖ ↑ ↗
← N 81.116996°
W123.134765°		 ← 377.27 m → N 81.116996°
W123.112793°		 →
↑
377.35 m
↓
↑
377.35 m
↓
N 81.113602°
W123.134765°		 ← 377.42 m →
142 393 m²		 N 81.113602°
W123.112793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157989501953125 y=0.093353271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157989501953125 × 214)
    floor (0.157989501953125 × 16384)
    floor (2588.5)     		tx = 2588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.093353271484375 × 214)
    floor (0.093353271484375 × 16384)
    floor (1529.5)     		ty = 1529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2588 / 1529 ti = "14/2588/1529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2588/1529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2588 ÷ 214
    2588 ÷ 16384     		x = 0.157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1529 ÷ 214
    1529 ÷ 16384     		y = 0.09332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.68408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14910708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09332275390625 × 2 - 1) × π
    0.8133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55522849734747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14910708} λ = -2.14910708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55522849734747))-π/2
    2×atan(12.87424105139)-π/2
    2×1.49327749390792-π/2
    2.98655498781584-1.57079632675     		φ = 1.41575866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14910708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.134765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41575866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.116996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2588 KachelY 1529 -2.14910708 1.41575866 -123.134765 81.116996
    Oben rechts KachelX + 1 2589 KachelY 1529 -2.14872359 1.41575866 -123.112793 81.116996
    Unten links KachelX 2588 KachelY + 1 1530 -2.14910708 1.41569943 -123.134765 81.113602
    Unten rechts KachelX + 1 2589 KachelY + 1 1530 -2.14872359 1.41569943 -123.112793 81.113602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41575866-1.41569943) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dl = 377.354329999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41575866-1.41569943) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dr = 377.354329999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14910708--2.14872359) × cos(1.41575866) × R
    0.000383489999999931 × 0.154417314409303 × 6371000     		do = 377.274666396822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14910708--2.14872359) × cos(1.41569943) × R
    0.000383489999999931 × 0.15447583371691 × 6371000     		du = 377.417641634667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41575866)-sin(1.41569943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154417314409303-0.15447583371691)×R²
    abs(-2.14872359--2.14910708)×5.85193076064749e-05×R²
    0.000383489999999931×5.85193076064749e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.85193076064749e-05×40589641000000     		ar = 142393.205167341m²