Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2588 / 1437
↖ ↑ ↗
← N 81.423769°
W123.134765°		 ← 364.34 m → N 81.423769°
W123.112793°		 →
↑
364.42 m
↓
↑
364.42 m
↓
N 81.420492°
W123.134765°		 ← 364.48 m →
132 800 m²		 N 81.420492°
W123.112793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157989501953125 y=0.087738037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157989501953125 × 214)
    floor (0.157989501953125 × 16384)
    floor (2588.5)     		tx = 2588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087738037109375 × 214)
    floor (0.087738037109375 × 16384)
    floor (1437.5)     		ty = 1437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2588 / 1437 ti = "14/2588/1437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2588/1437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2588 ÷ 214
    2588 ÷ 16384     		x = 0.157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1437 ÷ 214
    1437 ÷ 16384     		y = 0.08770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.68408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14910708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08770751953125 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59051005546783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14910708} λ = -2.14910708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59051005546783))-π/2
    2×atan(13.3365722602957)-π/2
    2×1.49595459176454-π/2
    2.99190918352908-1.57079632675     		φ = 1.42111286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14910708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.134765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42111286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.423769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2588 KachelY 1437 -2.14910708 1.42111286 -123.134765 81.423769
    Oben rechts KachelX + 1 2589 KachelY 1437 -2.14872359 1.42111286 -123.112793 81.423769
    Unten links KachelX 2588 KachelY + 1 1438 -2.14910708 1.42105566 -123.134765 81.420492
    Unten rechts KachelX + 1 2589 KachelY + 1 1438 -2.14872359 1.42105566 -123.112793 81.420492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42111286-1.42105566) × R
    5.72000000000905e-05 × 6371000     		dl = 364.421200000577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42111286-1.42105566) × R
    5.72000000000905e-05 × 6371000     		dr = 364.421200000577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14910708--2.14872359) × cos(1.42111286) × R
    0.000383489999999931 × 0.149125146114065 × 6371000     		do = 364.34476254673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14910708--2.14872359) × cos(1.42105566) × R
    0.000383489999999931 × 0.149181706278584 × 6371000     		du = 364.482951177207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42111286)-sin(1.42105566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149125146114065-0.149181706278584)×R²
    abs(-2.14872359--2.14910708)×5.65601645188818e-05×R²
    0.000383489999999931×5.65601645188818e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.65601645188818e-05×40589641000000     		ar = 132800.135051113m²