Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2588 / 1434
↖ ↑ ↗
← N 81.433594°
W123.134765°		 ← 363.93 m → N 81.433594°
W123.112793°		 →
↑
364.04 m
↓
↑
364.04 m
↓
N 81.430320°
W123.134765°		 ← 364.07 m →
132 510 m²		 N 81.430320°
W123.112793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157989501953125 y=0.087554931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157989501953125 × 214)
    floor (0.157989501953125 × 16384)
    floor (2588.5)     		tx = 2588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087554931640625 × 214)
    floor (0.087554931640625 × 16384)
    floor (1434.5)     		ty = 1434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2588 / 1434 ti = "14/2588/1434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2588/1434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2588 ÷ 214
    2588 ÷ 16384     		x = 0.157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1434 ÷ 214
    1434 ÷ 16384     		y = 0.0875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.68408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14910708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0875244140625 × 2 - 1) × π
    0.824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59166054105872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14910708} λ = -2.14910708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59166054105872))-π/2
    2×atan(13.3519246241562)-π/2
    2×1.49604032615602-π/2
    2.99208065231204-1.57079632675     		φ = 1.42128433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14910708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.134765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42128433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.433594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2588 KachelY 1434 -2.14910708 1.42128433 -123.134765 81.433594
    Oben rechts KachelX + 1 2589 KachelY 1434 -2.14872359 1.42128433 -123.112793 81.433594
    Unten links KachelX 2588 KachelY + 1 1435 -2.14910708 1.42122719 -123.134765 81.430320
    Unten rechts KachelX + 1 2589 KachelY + 1 1435 -2.14872359 1.42122719 -123.112793 81.430320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42128433-1.42122719) × R
    5.71400000000111e-05 × 6371000     		dl = 364.038940000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42128433-1.42122719) × R
    5.71400000000111e-05 × 6371000     		dr = 364.038940000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14910708--2.14872359) × cos(1.42128433) × R
    0.000383489999999931 × 0.148955591243474 × 6371000     		do = 363.930503579185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14910708--2.14872359) × cos(1.42122719) × R
    0.000383489999999931 × 0.149012093539949 × 6371000     		du = 364.0685508256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42128433)-sin(1.42122719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148955591243474-0.149012093539949)×R²
    abs(-2.14872359--2.14910708)×5.65022964744977e-05×R²
    0.000383489999999931×5.65022964744977e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.65022964744977e-05×40589641000000     		ar = 132510.002080157m²