Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25870 / 27410
↖ ↑ ↗
← N 28.217290°
W 37.891846°		 ← 538.26 m → N 28.217290°
W 37.886352°		 →
↑
538.22 m
↓
↑
538.22 m
↓
N 28.212449°
W 37.891846°		 ← 538.28 m →
289 709 m²		 N 28.212449°
W 37.886352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394752502441406 y=0.418251037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394752502441406 × 216)
    floor (0.394752502441406 × 65536)
    floor (25870.5)     		tx = 25870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418251037597656 × 216)
    floor (0.418251037597656 × 65536)
    floor (27410.5)     		ty = 27410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25870 / 27410 ti = "16/25870/27410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25870/27410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25870 ÷ 216
    25870 ÷ 65536     		x = 0.394744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27410 ÷ 216
    27410 ÷ 65536     		y = 0.418243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.21051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66133747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418243408203125 × 2 - 1) × π
    0.16351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.513691816328522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66133747} λ = -0.66133747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513691816328522))-π/2
    2×atan(1.67145050669929)-π/2
    2×1.03164046950634-π/2
    2.06328093901268-1.57079632675     		φ = 0.49248461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66133747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.891846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49248461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.217290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25870 KachelY 27410 -0.66133747 0.49248461 -37.891846 28.217290
    Oben rechts KachelX + 1 25871 KachelY 27410 -0.66124159 0.49248461 -37.886352 28.217290
    Unten links KachelX 25870 KachelY + 1 27411 -0.66133747 0.49240013 -37.891846 28.212449
    Unten rechts KachelX + 1 25871 KachelY + 1 27411 -0.66124159 0.49240013 -37.886352 28.212449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49248461-0.49240013) × R
    8.44799999999979e-05 × 6371000     		dl = 538.222079999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49248461-0.49240013) × R
    8.44799999999979e-05 × 6371000     		dr = 538.222079999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66133747--0.66124159) × cos(0.49248461) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.881160814579689 × 6371000     		do = 538.258387703656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66133747--0.66124159) × cos(0.49240013) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.881200754988935 × 6371000     		du = 538.282785361755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49248461)-sin(0.49240013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881160814579689-0.881200754988935)×R²
    abs(-0.66124159--0.66133747)×3.99404092463751e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.99404092463751e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.99404092463751e-05×40589641000000     		ar = 289709.114858653m²