Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2587 / 1433
↖ ↑ ↗
← N 81.436866°
W123.156738°		 ← 363.80 m → N 81.436866°
W123.134765°		 →
↑
363.85 m
↓
↑
363.85 m
↓
N 81.433594°
W123.156738°		 ← 363.94 m →
132 394 m²		 N 81.433594°
W123.134765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157928466796875 y=0.087493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157928466796875 × 214)
    floor (0.157928466796875 × 16384)
    floor (2587.5)     		tx = 2587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087493896484375 × 214)
    floor (0.087493896484375 × 16384)
    floor (1433.5)     		ty = 1433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2587 / 1433 ti = "14/2587/1433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2587/1433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2587 ÷ 214
    2587 ÷ 16384     		x = 0.15789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1433 ÷ 214
    1433 ÷ 16384     		y = 0.08746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.6842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14949058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08746337890625 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59204403625568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14949058} λ = -2.14949058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59204403625568))-π/2
    2×atan(13.3570460050695)-π/2
    2×1.49606888261887-π/2
    2.99213776523773-1.57079632675     		φ = 1.42134144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14949058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42134144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.436866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2587 KachelY 1433 -2.14949058 1.42134144 -123.156738 81.436866
    Oben rechts KachelX + 1 2588 KachelY 1433 -2.14910708 1.42134144 -123.134765 81.436866
    Unten links KachelX 2587 KachelY + 1 1434 -2.14949058 1.42128433 -123.156738 81.433594
    Unten rechts KachelX + 1 2588 KachelY + 1 1434 -2.14910708 1.42128433 -123.134765 81.433594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42134144-1.42128433) × R
    5.71099999999714e-05 × 6371000     		dl = 363.847809999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42134144-1.42128433) × R
    5.71099999999714e-05 × 6371000     		dr = 363.847809999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14949058--2.14910708) × cos(1.42134144) × R
    0.000383500000000314 × 0.148899118126235 × 6371000     		do = 363.802013987087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14949058--2.14910708) × cos(1.42128433) × R
    0.000383500000000314 × 0.148955591243474 × 6371000     		du = 363.939993540267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42134144)-sin(1.42128433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148899118126235-0.148955591243474)×R²
    abs(-2.14910708--2.14949058)×5.64731172396082e-05×R²
    0.000383500000000314×5.64731172396082e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.64731172396082e-05×40589641000000     		ar = 132393.667877018m²