Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25867 / 24923
↖ ↑ ↗
← S 67.986991°
E104.183350°		 ← 457.87 m → S 67.986991°
E104.194336°		 →
↑
457.82 m
↓
↑
457.82 m
↓
S 67.991108°
E104.183350°		 ← 457.79 m →
209 602 m²		 S 67.991108°
E104.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789413452148438 y=0.760604858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789413452148438 × 215)
    floor (0.789413452148438 × 32768)
    floor (25867.5)     		tx = 25867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760604858398438 × 215)
    floor (0.760604858398438 × 32768)
    floor (24923.5)     		ty = 24923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25867 / 24923 ti = "15/25867/24923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25867/24923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25867 ÷ 215
    25867 ÷ 32768     		x = 0.789398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24923 ÷ 215
    24923 ÷ 32768     		y = 0.760589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789398193359375 × 2 - 1) × π
    0.57879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81834248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760589599609375 × 2 - 1) × π
    -0.52117919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63733274342264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81834248} λ = 1.81834248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63733274342264))-π/2
    2×atan(0.194498127460458)-π/2
    2×0.192099743998296-π/2
    0.384199487996592-1.57079632675     		φ = -1.18659684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81834248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.183350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18659684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.986991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25867 KachelY 24923 1.81834248 -1.18659684 104.183350 -67.986991
    Oben rechts KachelX + 1 25868 KachelY 24923 1.81853422 -1.18659684 104.194336 -67.986991
    Unten links KachelX 25867 KachelY + 1 24924 1.81834248 -1.18666870 104.183350 -67.991108
    Unten rechts KachelX + 1 25868 KachelY + 1 24924 1.81853422 -1.18666870 104.194336 -67.991108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18659684--1.18666870) × R
    7.18600000000347e-05 × 6371000     		dl = 457.820060000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18659684--1.18666870) × R
    7.18600000000347e-05 × 6371000     		dr = 457.820060000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81834248-1.81853422) × cos(-1.18659684) × R
    0.000191739999999996 × 0.374817102109758 × 6371000     		do = 457.867403910953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81834248-1.81853422) × cos(-1.18666870) × R
    0.000191739999999996 × 0.37475047982404 × 6371000     		du = 457.786019756301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18659684)-sin(-1.18666870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374817102109758-0.37475047982404)×R²
    abs(1.81853422-1.81834248)×6.66222857182985e-05×R²
    0.000191739999999996×6.66222857182985e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.66222857182985e-05×40589641000000     		ar = 209602.25277129m²