Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25863 / 24622
↖ ↑ ↗
← S 66.713856°
E104.139405°		 ← 482.92 m → S 66.713856°
E104.150390°		 →
↑
482.92 m
↓
↑
482.92 m
↓
S 66.718199°
E104.139405°		 ← 482.83 m →
233 191 m²		 S 66.718199°
E104.150390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789291381835938 y=0.751419067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789291381835938 × 215)
    floor (0.789291381835938 × 32768)
    floor (25863.5)     		tx = 25863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751419067382812 × 215)
    floor (0.751419067382812 × 32768)
    floor (24622.5)     		ty = 24622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25863 / 24622 ti = "15/25863/24622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25863/24622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25863 ÷ 215
    25863 ÷ 32768     		x = 0.789276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24622 ÷ 215
    24622 ÷ 32768     		y = 0.75140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789276123046875 × 2 - 1) × π
    0.57855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.81757549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.5028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57961671628009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81757549} λ = 1.81757549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57961671628009))-π/2
    2×atan(0.206054060238196)-π/2
    2×0.203209936674279-π/2
    0.406419873348558-1.57079632675     		φ = -1.16437645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81757549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.139405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16437645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.713856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25863 KachelY 24622 1.81757549 -1.16437645 104.139405 -66.713856
    Oben rechts KachelX + 1 25864 KachelY 24622 1.81776723 -1.16437645 104.150390 -66.713856
    Unten links KachelX 25863 KachelY + 1 24623 1.81757549 -1.16445225 104.139405 -66.718199
    Unten rechts KachelX + 1 25864 KachelY + 1 24623 1.81776723 -1.16445225 104.150390 -66.718199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16437645--1.16445225) × R
    7.58000000000703e-05 × 6371000     		dl = 482.921800000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16437645--1.16445225) × R
    7.58000000000703e-05 × 6371000     		dr = 482.921800000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81757549-1.81776723) × cos(-1.16437645) × R
    0.000191739999999996 × 0.395323374917439 × 6371000     		do = 482.917365189382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81757549-1.81776723) × cos(-1.16445225) × R
    0.000191739999999996 × 0.395253748297244 × 6371000     		du = 482.832311013219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16437645)-sin(-1.16445225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395323374917439-0.395253748297244)×R²
    abs(1.81776723-1.81757549)×6.96266201951068e-05×R²
    0.000191739999999996×6.96266201951068e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.96266201951068e-05×40589641000000     		ar = 233190.786102215m²