Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25844 / 24751
↖ ↑ ↗
← S 67.267798°
E103.930664°		 ← 472.07 m → S 67.267798°
E103.941650°		 →
↑
472.03 m
↓
↑
472.03 m
↓
S 67.272043°
E103.930664°		 ← 471.99 m →
222 811 m²		 S 67.272043°
E103.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788711547851562 y=0.755355834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788711547851562 × 215)
    floor (0.788711547851562 × 32768)
    floor (25844.5)     		tx = 25844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755355834960938 × 215)
    floor (0.755355834960938 × 32768)
    floor (24751.5)     		ty = 24751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25844 / 24751 ti = "15/25844/24751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25844/24751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25844 ÷ 215
    25844 ÷ 32768     		x = 0.7886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24751 ÷ 215
    24751 ÷ 32768     		y = 0.755340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7886962890625 × 2 - 1) × π
    0.577392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81393228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.51068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60435215648404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81393228} λ = 1.81393228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60435215648404))-π/2
    2×atan(0.201019742071706)-π/2
    2×0.198375888511955-π/2
    0.39675177702391-1.57079632675     		φ = -1.17404455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81393228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17404455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.267798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25844 KachelY 24751 1.81393228 -1.17404455 103.930664 -67.267798
    Oben rechts KachelX + 1 25845 KachelY 24751 1.81412403 -1.17404455 103.941650 -67.267798
    Unten links KachelX 25844 KachelY + 1 24752 1.81393228 -1.17411864 103.930664 -67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 25845 KachelY + 1 24752 1.81412403 -1.17411864 103.941650 -67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17404455--1.17411864) × R
    7.40900000000266e-05 × 6371000     		dl = 472.02739000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17404455--1.17411864) × R
    7.40900000000266e-05 × 6371000     		dr = 472.02739000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81393228-1.81412403) × cos(-1.17404455) × R
    0.000191750000000157 × 0.38642448150999 × 6371000     		do = 472.071313773889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81393228-1.81412403) × cos(-1.17411864) × R
    0.000191750000000157 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 471.987832045237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17404455)-sin(-1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38642448150999-0.38635614568282)×R²
    abs(1.81412403-1.81393228)×6.83358271701962e-05×R²
    0.000191750000000157×6.83358271701962e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.83358271701962e-05×40589641000000     		ar = 222810.887405101m²