Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2584 / 1527
↖ ↑ ↗
← N 81.123779°
W123.222656°		 ← 376.99 m → N 81.123779°
W123.200684°		 →
↑
377.04 m
↓
↑
377.04 m
↓
N 81.120389°
W123.222656°		 ← 377.13 m →
142 165 m²		 N 81.120389°
W123.200684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157745361328125 y=0.093231201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157745361328125 × 214)
    floor (0.157745361328125 × 16384)
    floor (2584.5)     		tx = 2584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.093231201171875 × 214)
    floor (0.093231201171875 × 16384)
    floor (1527.5)     		ty = 1527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2584 / 1527 ti = "14/2584/1527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2584/1527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2584 ÷ 214
    2584 ÷ 16384     		x = 0.15771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1527 ÷ 214
    1527 ÷ 16384     		y = 0.09320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    -0.6845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15064106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09320068359375 × 2 - 1) × π
    0.8135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55599548774139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15064106} λ = -2.15064106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55599548774139))-π/2
    2×atan(12.8841192583661)-π/2
    2×1.49333668977392-π/2
    2.98667337954784-1.57079632675     		φ = 1.41587705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15064106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41587705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.123779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2584 KachelY 1527 -2.15064106 1.41587705 -123.222656 81.123779
    Oben rechts KachelX + 1 2585 KachelY 1527 -2.15025757 1.41587705 -123.200684 81.123779
    Unten links KachelX 2584 KachelY + 1 1528 -2.15064106 1.41581787 -123.222656 81.120389
    Unten rechts KachelX + 1 2585 KachelY + 1 1528 -2.15025757 1.41581787 -123.200684 81.120389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41587705-1.41581787) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dl = 377.035780000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41587705-1.41581787) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dr = 377.035780000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15064106--2.15025757) × cos(1.41587705) × R
    0.000383489999999931 × 0.154300343330798 × 6371000     		do = 376.988880927816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15064106--2.15025757) × cos(1.41581787) × R
    0.000383489999999931 × 0.154358814320269 × 6371000     		du = 377.131738114076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41587705)-sin(1.41581787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154300343330798-0.154358814320269)×R²
    abs(-2.15025757--2.15064106)×5.84709894702051e-05×R²
    0.000383489999999931×5.84709894702051e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.84709894702051e-05×40589641000000     		ar = 142165.227949339m²