Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25837 / 24885
↖ ↑ ↗
← S 67.829983°
E103.853760°		 ← 460.99 m → S 67.829983°
E103.864746°		 →
↑
460.94 m
↓
↑
460.94 m
↓
S 67.834128°
E103.853760°		 ← 460.91 m →
212 472 m²		 S 67.834128°
E103.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788497924804688 y=0.759445190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788497924804688 × 215)
    floor (0.788497924804688 × 32768)
    floor (25837.5)     		tx = 25837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759445190429688 × 215)
    floor (0.759445190429688 × 32768)
    floor (24885.5)     		ty = 24885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25837 / 24885 ti = "15/25837/24885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25837/24885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25837 ÷ 215
    25837 ÷ 32768     		x = 0.788482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24885 ÷ 215
    24885 ÷ 32768     		y = 0.759429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788482666015625 × 2 - 1) × π
    0.57696533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81259005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.51885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63004633468039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81259005} λ = 1.81259005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63004633468039))-π/2
    2×atan(0.195920496003031)-π/2
    2×0.193469900244484-π/2
    0.386939800488967-1.57079632675     		φ = -1.18385653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81259005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.853760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18385653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.829983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25837 KachelY 24885 1.81259005 -1.18385653 103.853760 -67.829983
    Oben rechts KachelX + 1 25838 KachelY 24885 1.81278180 -1.18385653 103.864746 -67.829983
    Unten links KachelX 25837 KachelY + 1 24886 1.81259005 -1.18392888 103.853760 -67.834128
    Unten rechts KachelX + 1 25838 KachelY + 1 24886 1.81278180 -1.18392888 103.864746 -67.834128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18385653--1.18392888) × R
    7.23500000001653e-05 × 6371000     		dl = 460.941850001053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18385653--1.18392888) × R
    7.23500000001653e-05 × 6371000     		dr = 460.941850001053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81259005-1.81278180) × cos(-1.18385653) × R
    0.000191749999999935 × 0.377356229670334 × 6371000     		do = 460.993181397139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81259005-1.81278180) × cos(-1.18392888) × R
    0.000191749999999935 × 0.377289227649855 × 6371000     		du = 460.911329099092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18385653)-sin(-1.18392888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377356229670334-0.377289227649855)×R²
    abs(1.81278180-1.81259005)×6.70020204795452e-05×R²
    0.000191749999999935×6.70020204795452e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.70020204795452e-05×40589641000000     		ar = 212472.185389246m²