Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25835 / 24877
↖ ↑ ↗
← S 67.796793°
E103.831787°		 ← 461.65 m → S 67.796793°
E103.842773°		 →
↑
461.58 m
↓
↑
461.58 m
↓
S 67.800944°
E103.831787°		 ← 461.57 m →
213 068 m²		 S 67.800944°
E103.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788436889648438 y=0.759201049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788436889648438 × 215)
    floor (0.788436889648438 × 32768)
    floor (25835.5)     		tx = 25835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759201049804688 × 215)
    floor (0.759201049804688 × 32768)
    floor (24877.5)     		ty = 24877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25835 / 24877 ti = "15/25835/24877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25835/24877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25835 ÷ 215
    25835 ÷ 32768     		x = 0.788421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24877 ÷ 215
    24877 ÷ 32768     		y = 0.759185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788421630859375 × 2 - 1) × π
    0.57684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81220655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.51837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62851235389255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81220655} λ = 1.81220655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62851235389255))-π/2
    2×atan(0.196221264907727)-π/2
    2×0.193759534508451-π/2
    0.387519069016902-1.57079632675     		φ = -1.18327726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81220655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18327726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.796793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25835 KachelY 24877 1.81220655 -1.18327726 103.831787 -67.796793
    Oben rechts KachelX + 1 25836 KachelY 24877 1.81239830 -1.18327726 103.842773 -67.796793
    Unten links KachelX 25835 KachelY + 1 24878 1.81220655 -1.18334971 103.831787 -67.800944
    Unten rechts KachelX + 1 25836 KachelY + 1 24878 1.81239830 -1.18334971 103.842773 -67.800944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18327726--1.18334971) × R
    7.24500000000017e-05 × 6371000     		dl = 461.578950000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18327726--1.18334971) × R
    7.24500000000017e-05 × 6371000     		dr = 461.578950000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81220655-1.81239830) × cos(-1.18327726) × R
    0.000191749999999935 × 0.377892609843919 × 6371000     		do = 461.648444470111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81220655-1.81239830) × cos(-1.18334971) × R
    0.000191749999999935 × 0.377825531060666 × 6371000     		du = 461.566498395647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18327726)-sin(-1.18334971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377892609843919-0.377825531060666)×R²
    abs(1.81239830-1.81220655)×6.70787832528497e-05×R²
    0.000191749999999935×6.70787832528497e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.70787832528497e-05×40589641000000     		ar = 213068.292068775m²