Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25832 / 24775
↖ ↑ ↗
← S 67.369471°
E103.798828°		 ← 470.07 m → S 67.369471°
E103.809815°		 →
↑
470.05 m
↓
↑
470.05 m
↓
S 67.373698°
E103.798828°		 ← 469.99 m →
220 939 m²		 S 67.373698°
E103.809815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788345336914062 y=0.756088256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788345336914062 × 215)
    floor (0.788345336914062 × 32768)
    floor (25832.5)     		tx = 25832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756088256835938 × 215)
    floor (0.756088256835938 × 32768)
    floor (24775.5)     		ty = 24775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25832 / 24775 ti = "15/25832/24775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25832/24775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25832 ÷ 215
    25832 ÷ 32768     		x = 0.788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24775 ÷ 215
    24775 ÷ 32768     		y = 0.756072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788330078125 × 2 - 1) × π
    0.57666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.81163131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756072998046875 × 2 - 1) × π
    -0.51214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60895409884756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81163131} λ = 1.81163131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60895409884756))-π/2
    2×atan(0.200096786128641)-π/2
    2×0.19748862170271-π/2
    0.39497724340542-1.57079632675     		φ = -1.17581908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81163131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17581908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.369471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25832 KachelY 24775 1.81163131 -1.17581908 103.798828 -67.369471
    Oben rechts KachelX + 1 25833 KachelY 24775 1.81182306 -1.17581908 103.809815 -67.369471
    Unten links KachelX 25832 KachelY + 1 24776 1.81163131 -1.17589286 103.798828 -67.373698
    Unten rechts KachelX + 1 25833 KachelY + 1 24776 1.81182306 -1.17589286 103.809815 -67.373698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17581908--1.17589286) × R
    7.37800000001343e-05 × 6371000     		dl = 470.052380000856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17581908--1.17589286) × R
    7.37800000001343e-05 × 6371000     		dr = 470.052380000856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81163131-1.81182306) × cos(-1.17581908) × R
    0.000191749999999935 × 0.384787187578499 × 6371000     		do = 470.071131242848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81163131-1.81182306) × cos(-1.17589286) × R
    0.000191749999999935 × 0.384719087198778 × 6371000     		du = 469.98793714604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17581908)-sin(-1.17589286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384787187578499-0.384719087198778)×R²
    abs(1.81182306-1.81163131)×6.81003797213253e-05×R²
    0.000191749999999935×6.81003797213253e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.81003797213253e-05×40589641000000     		ar = 220938.501318881m²