Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25824 / 6881
↖ ↑ ↗
← N 80.444019°
W 38.144531°		 ← 101.40 m → N 80.444019°
W 38.139038°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
N 80.443107°
W 38.144531°		 ← 101.41 m →
10 285 m²		 N 80.443107°
W 38.139038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394050598144531 y=0.105003356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394050598144531 × 216)
    floor (0.394050598144531 × 65536)
    floor (25824.5)     		tx = 25824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105003356933594 × 216)
    floor (0.105003356933594 × 65536)
    floor (6881.5)     		ty = 6881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25824 / 6881 ti = "16/25824/6881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25824/6881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25824 ÷ 216
    25824 ÷ 65536     		x = 0.39404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6881 ÷ 216
    6881 ÷ 65536     		y = 0.104995727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104995727539062 × 2 - 1) × π
    0.790008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48188504092879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66574766} λ = -0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48188504092879))-π/2
    2×atan(11.9637954192764)-π/2
    2×1.48740465777803-π/2
    2.97480931555606-1.57079632675     		φ = 1.40401299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40401299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.444019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25824 KachelY 6881 -0.66574766 1.40401299 -38.144531 80.444019
    Oben rechts KachelX + 1 25825 KachelY 6881 -0.66565179 1.40401299 -38.139038 80.444019
    Unten links KachelX 25824 KachelY + 1 6882 -0.66574766 1.40399707 -38.144531 80.443107
    Unten rechts KachelX + 1 25825 KachelY + 1 6882 -0.66565179 1.40399707 -38.139038 80.443107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40401299-1.40399707) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40401299-1.40399707) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66574766--0.66565179) × cos(1.40401299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166011185021351 × 6371000     		do = 101.397601494246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66574766--0.66565179) × cos(1.40399707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166026884092319 × 6371000     		du = 101.407190294794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40401299)-sin(1.40399707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166011185021351-0.166026884092319)×R²
    abs(-0.66565179--0.66574766)×1.56990709679894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56990709679894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56990709679894e-05×40589641000000     		ar = 10284.8718550306m²