Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25824 / 6878
↖ ↑ ↗
← N 80.446754°
W 38.144531°		 ← 101.37 m → N 80.446754°
W 38.139038°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
N 80.445842°
W 38.144531°		 ← 101.38 m →
10 275 m²		 N 80.445842°
W 38.139038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394050598144531 y=0.104957580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394050598144531 × 216)
    floor (0.394050598144531 × 65536)
    floor (25824.5)     		tx = 25824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104957580566406 × 216)
    floor (0.104957580566406 × 65536)
    floor (6878.5)     		ty = 6878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25824 / 6878 ti = "16/25824/6878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25824/6878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25824 ÷ 216
    25824 ÷ 65536     		x = 0.39404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6878 ÷ 216
    6878 ÷ 65536     		y = 0.104949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104949951171875 × 2 - 1) × π
    0.79010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48217266232651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66574766} λ = -0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48217266232651))-π/2
    2×atan(11.9672369577432)-π/2
    2×1.48742852857733-π/2
    2.97485705715467-1.57079632675     		φ = 1.40406073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40406073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.446754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25824 KachelY 6878 -0.66574766 1.40406073 -38.144531 80.446754
    Oben rechts KachelX + 1 25825 KachelY 6878 -0.66565179 1.40406073 -38.139038 80.446754
    Unten links KachelX 25824 KachelY + 1 6879 -0.66574766 1.40404482 -38.144531 80.445842
    Unten rechts KachelX + 1 25825 KachelY + 1 6879 -0.66565179 1.40404482 -38.139038 80.445842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40406073-1.40404482) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40406073-1.40404482) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66574766--0.66565179) × cos(1.40406073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16596410727865 × 6371000     		do = 101.368846984765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66574766--0.66565179) × cos(1.40404482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165979796614486 × 6371000     		du = 101.378429839213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40406073)-sin(1.40404482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16596410727865-0.165979796614486)×R²
    abs(-0.66565179--0.66574766)×1.56893358365384e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56893358365384e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56893358365384e-05×40589641000000     		ar = 10275.4965749261m²