Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25824 / 24469
↖ ↑ ↗
← S 66.040335°
E103.710938°		 ← 496.10 m → S 66.040335°
E103.721924°		 →
↑
496.05 m
↓
↑
496.05 m
↓
S 66.044796°
E103.710938°		 ← 496.01 m →
246 067 m²		 S 66.044796°
E103.721924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788101196289062 y=0.746749877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788101196289062 × 215)
    floor (0.788101196289062 × 32768)
    floor (25824.5)     		tx = 25824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746749877929688 × 215)
    floor (0.746749877929688 × 32768)
    floor (24469.5)     		ty = 24469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25824 / 24469 ti = "15/25824/24469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25824/24469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25824 ÷ 215
    25824 ÷ 32768     		x = 0.7880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24469 ÷ 215
    24469 ÷ 32768     		y = 0.746734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7880859375 × 2 - 1) × π
    0.576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81009733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.49346923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55027933371262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81009733} λ = 1.81009733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55027933371262))-π/2
    2×atan(0.212188694092018)-π/2
    2×0.209087518253964-π/2
    0.418175036507929-1.57079632675     		φ = -1.15262129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81009733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.710938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15262129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.040335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25824 KachelY 24469 1.81009733 -1.15262129 103.710938 -66.040335
    Oben rechts KachelX + 1 25825 KachelY 24469 1.81028908 -1.15262129 103.721924 -66.040335
    Unten links KachelX 25824 KachelY + 1 24470 1.81009733 -1.15269915 103.710938 -66.044796
    Unten rechts KachelX + 1 25825 KachelY + 1 24470 1.81028908 -1.15269915 103.721924 -66.044796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15262129--1.15269915) × R
    7.78599999999852e-05 × 6371000     		dl = 496.046059999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15262129--1.15269915) × R
    7.78599999999852e-05 × 6371000     		dr = 496.046059999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81009733-1.81028908) × cos(-1.15262129) × R
    0.000191749999999935 × 0.406093421244466 × 6371000     		do = 496.099662558855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81009733-1.81028908) × cos(-1.15269915) × R
    0.000191749999999935 × 0.40602226908781 × 6371000     		du = 496.012740291562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15262129)-sin(-1.15269915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406093421244466-0.40602226908781)×R²
    abs(1.81028908-1.81009733)×7.11521566563733e-05×R²
    0.000191749999999935×7.11521566563733e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.11521566563733e-05×40589641000000     		ar = 246066.724379626m²