Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25823 / 6882
↖ ↑ ↗
← N 80.443107°
W 38.150025°		 ← 101.42 m → N 80.443107°
W 38.144531°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
N 80.442194°
W 38.150025°		 ← 101.43 m →
10 287 m²		 N 80.442194°
W 38.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394035339355469 y=0.105018615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394035339355469 × 216)
    floor (0.394035339355469 × 65536)
    floor (25823.5)     		tx = 25823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105018615722656 × 216)
    floor (0.105018615722656 × 65536)
    floor (6882.5)     		ty = 6882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25823 / 6882 ti = "16/25823/6882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25823/6882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25823 ÷ 216
    25823 ÷ 65536     		x = 0.394027709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6882 ÷ 216
    6882 ÷ 65536     		y = 0.105010986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394027709960938 × 2 - 1) × π
    -0.211944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.66584354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105010986328125 × 2 - 1) × π
    0.78997802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48178916712955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66584354} λ = -0.66584354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48178916712955))-π/2
    2×atan(11.9626484597388)-π/2
    2×1.48739669934026-π/2
    2.97479339868052-1.57079632675     		φ = 1.40399707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66584354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.150025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40399707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.443107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25823 KachelY 6882 -0.66584354 1.40399707 -38.150025 80.443107
    Oben rechts KachelX + 1 25824 KachelY 6882 -0.66574766 1.40399707 -38.144531 80.443107
    Unten links KachelX 25823 KachelY + 1 6883 -0.66584354 1.40398115 -38.150025 80.442194
    Unten rechts KachelX + 1 25824 KachelY + 1 6883 -0.66574766 1.40398115 -38.144531 80.442194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40399707-1.40398115) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40399707-1.40398115) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66584354--0.66574766) × cos(1.40399707) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166026884092319 × 6371000     		do = 101.417767867633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66584354--0.66574766) × cos(1.40398115) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166042583121208 × 6371000     		du = 101.427357642664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40399707)-sin(1.40398115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166026884092319-0.166042583121208)×R²
    abs(-0.66574766--0.66584354)×1.56990288890935e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.56990288890935e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.56990288890935e-05×40589641000000     		ar = 10286.9173054143m²