Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2582 / 1448
↖ ↑ ↗
← N 81.387650°
W123.266601°		 ← 365.87 m → N 81.387650°
W123.244629°		 →
↑
365.95 m
↓
↑
365.95 m
↓
N 81.384359°
W123.266601°		 ← 366.01 m →
133 915 m²		 N 81.384359°
W123.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157623291015625 y=0.088409423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157623291015625 × 214)
    floor (0.157623291015625 × 16384)
    floor (2582.5)     		tx = 2582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088409423828125 × 214)
    floor (0.088409423828125 × 16384)
    floor (1448.5)     		ty = 1448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2582 / 1448 ti = "14/2582/1448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2582/1448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2582 ÷ 214
    2582 ÷ 16384     		x = 0.1575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1448 ÷ 214
    1448 ÷ 16384     		y = 0.08837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15140805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08837890625 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15140805} λ = -2.15140805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58629160830127))-π/2
    2×atan(13.2804311322778)-π/2
    2×1.49563939657716-π/2
    2.99127879315432-1.57079632675     		φ = 1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15140805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.266601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2582 KachelY 1448 -2.15140805 1.42048247 -123.266601 81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 2583 KachelY 1448 -2.15102456 1.42048247 -123.244629 81.387650
    Unten links KachelX 2582 KachelY + 1 1449 -2.15140805 1.42042503 -123.266601 81.384359
    Unten rechts KachelX + 1 2583 KachelY + 1 1449 -2.15102456 1.42042503 -123.244629 81.384359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42048247-1.42042503) × R
    5.74399999999642e-05 × 6371000     		dl = 365.950239999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42048247-1.42042503) × R
    5.74399999999642e-05 × 6371000     		dr = 365.950239999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15140805--2.15102456) × cos(1.42048247) × R
    0.000383489999999931 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 365.867646460332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15140805--2.15102456) × cos(1.42042503) × R
    0.000383489999999931 × 0.14980524969642 × 6371000     		du = 366.006401677869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42048247)-sin(1.42042503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.14980524969642)×R²
    abs(-2.15102456--2.15140805)×5.67920667907118e-05×R²
    0.000383489999999931×5.67920667907118e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.67920667907118e-05×40589641000000     		ar = 133914.741819517m²