Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25809 / 24453
↖ ↑ ↗
← S 65.968851°
E103.546143°		 ← 497.47 m → S 65.968851°
E103.557129°		 →
↑
497.45 m
↓
↑
497.45 m
↓
S 65.973325°
E103.546143°		 ← 497.38 m →
247 442 m²		 S 65.973325°
E103.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787643432617188 y=0.746261596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787643432617188 × 215)
    floor (0.787643432617188 × 32768)
    floor (25809.5)     		tx = 25809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746261596679688 × 215)
    floor (0.746261596679688 × 32768)
    floor (24453.5)     		ty = 24453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25809 / 24453 ti = "15/25809/24453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25809/24453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25809 ÷ 215
    25809 ÷ 32768     		x = 0.787628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24453 ÷ 215
    24453 ÷ 32768     		y = 0.746246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787628173828125 × 2 - 1) × π
    0.57525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.80722112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54721137213693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80722112} λ = 1.80722112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54721137213693))-π/2
    2×atan(0.212840680475478)-π/2
    2×0.209711331651381-π/2
    0.419422663302761-1.57079632675     		φ = -1.15137366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80722112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15137366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25809 KachelY 24453 1.80722112 -1.15137366 103.546143 -65.968851
    Oben rechts KachelX + 1 25810 KachelY 24453 1.80741286 -1.15137366 103.557129 -65.968851
    Unten links KachelX 25809 KachelY + 1 24454 1.80722112 -1.15145174 103.546143 -65.973325
    Unten rechts KachelX + 1 25810 KachelY + 1 24454 1.80741286 -1.15145174 103.557129 -65.973325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15137366--1.15145174) × R
    7.80799999999804e-05 × 6371000     		dl = 497.447679999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15137366--1.15145174) × R
    7.80799999999804e-05 × 6371000     		dr = 497.447679999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80722112-1.80741286) × cos(-1.15137366) × R
    0.000191739999999996 × 0.407233228568344 × 6371000     		do = 497.466151094307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80722112-1.80741286) × cos(-1.15145174) × R
    0.000191739999999996 × 0.407161914973395 × 6371000     		du = 497.379036151049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15137366)-sin(-1.15145174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407233228568344-0.407161914973395)×R²
    abs(1.80741286-1.80722112)×7.13135949481081e-05×R²
    0.000191739999999996×7.13135949481081e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.13135949481081e-05×40589641000000     		ar = 247441.715302317m²