Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25785 / 42235
↖ ↑ ↗
← S 46.054173°
W 38.358765°		 ← 423.87 m → S 46.054173°
W 38.353272°		 →
↑
423.86 m
↓
↑
423.86 m
↓
S 46.057985°
W 38.358765°		 ← 423.84 m →
179 658 m²		 S 46.057985°
W 38.353272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.393455505371094 y=0.644462585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.393455505371094 × 216)
    floor (0.393455505371094 × 65536)
    floor (25785.5)     		tx = 25785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644462585449219 × 216)
    floor (0.644462585449219 × 65536)
    floor (42235.5)     		ty = 42235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25785 / 42235 ti = "16/25785/42235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25785/42235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25785 ÷ 216
    25785 ÷ 65536     		x = 0.393447875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42235 ÷ 216
    42235 ÷ 65536     		y = 0.644454956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.393447875976562 × 2 - 1) × π
    -0.213104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.66948674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644454956054688 × 2 - 1) × π
    -0.288909912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.907637257406143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66948674} λ = -0.66948674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907637257406143))-π/2
    2×atan(0.403476409604553)-π/2
    2×0.38349968473-π/2
    0.76699936946-1.57079632675     		φ = -0.80379696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66948674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.358765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80379696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.054173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25785 KachelY 42235 -0.66948674 -0.80379696 -38.358765 -46.054173
    Oben rechts KachelX + 1 25786 KachelY 42235 -0.66939087 -0.80379696 -38.353272 -46.054173
    Unten links KachelX 25785 KachelY + 1 42236 -0.66948674 -0.80386349 -38.358765 -46.057985
    Unten rechts KachelX + 1 25786 KachelY + 1 42236 -0.66939087 -0.80386349 -38.353272 -46.057985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80379696--0.80386349) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dl = 423.862630000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80379696--0.80386349) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dr = 423.862630000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66948674--0.66939087) × cos(-0.80379696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693977921337716 × 6371000     		do = 423.873227003089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66948674--0.66939087) × cos(-0.80386349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693930018449317 × 6371000     		du = 423.843968504708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80379696)-sin(-0.80386349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693977921337716-0.693930018449317)×R²
    abs(-0.66939087--0.66948674)×4.79028883981769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79028883981769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79028883981769e-05×40589641000000     		ar = 179657.820058481m²